Stetigkeit von Funktionen

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10.12.2007, 19:06	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Funktionen Hallo zusammen, ich soll mehrere Funktionen auf Stetigkeit an einem Punkt x0 untersuchen. Folgende Funktion ist eine davon: $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases}x^3cos(\frac{1}{x^3}), & \text{für }x>0\\x^2, & \text{für }x\leq 0 \ \ \ \text{in }x_0=0\end{cases} \end{eqnarray}$ Die Aufgabenstellung lautet nun: "Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen in dem jeweils angegebenen Punkten x0 einen linksseitigen und/oder einen rechtsseitigen Grenzwert haben. Welche Funktionen sind in x0 stetig?" Darf man an dieser Stelle jetzt die links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte durch ablesen aus dem Graphen nehmen? Ich kann nämlich leider nur Unstetigkeit mittels Folge nachweisen, die Tatsache,dass man für Stetigkeit alle Folgen für xn betrachten muss, kann ich leider nicht anwenden. Könnte mir vielleicht jemand ein "Rezept" für solche Aufgaben geben, keine Lösung und auch nichts ausführliches, nur ganz kurz, was man für den Nachweis von Stetigkeit so verwenden kann, damit ich die restlichen Aufgaben dann selbstständig lösen kann. Hier würde ich jetzt vermuten, dass die Funktion stetig im Punkt x0 ist, weil der linkseitige Grenzwert und der rechtsseitigegrenzwert gleich Null sind und außerdem der Grenzwert im Punkt x0 ebenfalls Null ist. Läßt sich hier auch mit Kompositionen von Funktionen argumentieren? Gruß Jan und danke im vorraus
10.12.2007, 19:14	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zunächst einmal ist die kritische stelle 0. in allen anderen Punkten kannst du über die Komposition argumentieren. Jetzt bleibt noch zu überprüfen ob die Funktion in 0 stetig ist. Das machst du indem du einmal den linksseitigen grenzwert an 0 berechnest und einmal den rechtsseitigen.
10.12.2007, 19:52	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, wie könnte ich dann hier die links- und rechtsseitigen Grenzwerte bestimmen? Einfach über die Betrachtung des Graphen? Oder kann ich einfach im Beispiel des loinksseitigen Grenzwert formell sagen, dass x^3 gegen Null geht und der Kosinusterm immer zwischen -1 und 1 oszilliert und somit das Produkt der beiden Einzelgrenzwerte Null ergibt? Ich habe füher in der Schule das mal so gelernt, dass man zu der gesuchten Stelle einfach ein h addiert bzw. abzieht um den rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert zu bestimmen. Nur waren die Funktionen nicht stückweise definiert, reicht hier die Betrachtung der Grenzwerte der einzelnen Funktionsteile aus der Definition der Funktion?
10.12.2007, 20:05	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
also am graphen ablesen ist kein beweis! damit kannst du dir einen eindruck verschaffen wie das ergebnis wohl sein könnte. zu den links-/rechtsseitigen grenzwerten: du gehst zum einen von links an die 0, also näherst du dich quasi von $\begin{eqnarray} - \infty \end{eqnarray}$ an die 0 an, und da die Funktion dort als $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ definiert ist (insbesondere für x=0), ist der grenzwert 0^2 = 0 Nun musst du noch den rechtsseitigen grenzwert betrachten. Das geht völlig analog, nur das du noch von $\begin{eqnarray} + \infty \end{eqnarray}$ an die 0 gehst, und die Funktion auf diesem Bereich anders definiert ist. Was ist also der Grenzwert von $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x \searrow 0} x^3 \cdot \cos(\frac{1}{x^3}) \end{eqnarray}$
10.12.2007, 20:25	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde sagen der Grenzwert ist 0. Da der Kosinusterm oszilliert zwischen -1...1 und x^3 gegen 0 geht ist der Grenzwert insgesamt 0.
10.12.2007, 21:55	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig. also hast du sowohl links- als auch rechtsseitigen grenzwert berechnet. Was sagt dir das nun zur stetigkeit?
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10.12.2007, 22:19	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen, da der Grenzwert an der Stelle x0 auch Null ist, ist die Funktion stetig an der Stelle x0.
11.12.2007, 06:56	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
ein wenig schwammig formuliert, aber okay. Eine Funktion ist genau dann stetig in einem Punkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ , wenn der links- und rechtsseitige Grenzwert existieren und übereinstimmen.
11.12.2007, 14:45	Ash	Auf diesen Beitrag antworten »
Ambrosius - ich bin zwar sehr schwach in Mathe, aber das reicht doch für stetigkeit meiner meinung nicht aus - klar es muss ein links- und rechtseitiger Grenzwert exisitieren und dieser muss auch noch übereinstimmen, es muss ZUSÄTZLCIH aber auch der punkt in f(0) mitdem Grenzwert übereinstimmen ==> f(0) = 0² = 0 Und da sowohl der linksseitige wie auch der rechtsseitige Grenzwert 0 ist und die funktion im Punkt 0 [f(0)] = 0 ist, ist die Funktion stetig in x_0.
11.12.2007, 15:25	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
gut aufgepasst
11.12.2007, 15:27	Ash	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohh danke.... 10 jahre kein mathe und dann nen fernstudium in informatik anfangen - ich glaube schlimmer kann man sich nicht bestrafen / fordern^^... aberdie zeit wird sich, ob es sich lohnt^^
11.12.2007, 18:55	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
@ash: Das stimmt sicherlich! Hab ich unterschlagen, weils klar ist. Aber hätte ich sicherlich mit posten sollen.

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