Zeitinversion der Brownschen Bewegung

11.12.2007, 13:42

Ambrosius

Zeitinversion der Brownschen Bewegung

Ich habe eine normale Brownsche Bewegung $\begin{eqnarray*} \left( B_t \right)_{t \geq 0} \end{eqnarray*}$ gegeben und soll zeigen, dass der Prozess
$\begin{eqnarray*} Y_t (\omega)=\begin{cases}t \cdot B_{\frac 1t} (\omega), \text{wenn } t > 0 \\ 0, & \text{wenn } t = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$
auch eine normale Brownsche Bewegung beschreibt.

Als erstes zeige ich (bzw. versuche ich zu zeigen verwirrt

), dass $\begin{eqnarray*} Y_t \end{eqnarray*}$ einen Gaußprozess beschreibt, das also alle endlichdimensionalen Verteilungen normalverteilt sind.
Zur Notation: $\begin{eqnarray*} P_{\mu} \end{eqnarray*}$ bezeichne ich als Verteilung von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und ich mache das nur mal für n=2

Also:
$\begin{eqnarray*} P_{(Y_s,Y_t)} = P_{(s \cdot B_{\frac 1s},t \cdot B_{\frac 1t})} \end{eqnarray*}$

Da hörts auch schon auf.

Zunächst hatte ich das nun als Produkt der Verteilungen aufgespalten und dann das Produkt zweier Normalverteilungen, aber das wäre ja nicht die Lösung.

EDIT: Vielleicht ists doch die Lösung ???
Wenn ich also (wegen der Unabhängigkeit) auseinanderziehe, erhalte ich
$\begin{eqnarray*} P_{s \cdot B_{\frac 1s}} \cdot P_{t \cdot B_{\frac 1t}} = N(0,s) \cdot N(0,t) = P_{(B_s,B_t)} \end{eqnarray*}$
und nach Voraussetzung ist letzteres normalverteilt.

11.12.2007, 15:12

Dual Space

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RE: Zeitinversion der Brownschen Bewegung
Dass Y normalverteilt mit Erwartungswert Null ist ergibt sich automatisch. Es genügt also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(Y_t,Y_s)=\min\{t,s\} \end{eqnarray*}$ gilt.

11.12.2007, 18:47

Ambrosius

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RE: Zeitinversion der Brownschen Bewegung

Zitat:

Original von Dual Space
Dass Y normalverteilt mit Erwartungswert Null ist ergibt sich automatisch.

Das würd ich aber gerne formell nachvollziehen, da ich noch ganz neu in stochastischen Prozessen bin smile

Zitat:

Original von Dual Space
Es genügt also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(Y_t,Y_s)=\min\{t,s\} \end{eqnarray*}$ gilt.

Das wird auch später noch gemacht, und das verstehe ich auch soweit

11.12.2007, 19:24

Dual Space

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RE: Zeitinversion der Brownschen Bewegung
Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} B_t\sim N(0,t) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ , insbesondere ist also $\begin{eqnarray*} B_{\frac{1}{t}}\sim N(0,1/t) \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} tB_{\frac{1}{t}}\sim N(0,t). \end{eqnarray*}$

Letzteres gilt aufgrund der bekannten Beziehung $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(aX)=a^2 \operatorname{Var}(X) \end{eqnarray*}$ .

11.12.2007, 20:09

Ambrosius

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Und das reicht dann?

Ich meine ein Gaußprozess ist ja so definiert, das alle endlichdimensionalen Verteilungen normalverteilt sind.

Wieso ist das damit schon bewiesen?

11.12.2007, 20:12

Dual Space

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Poste doch bitte mal, wie ihr die Brownsche Bewegung $\begin{eqnarray*} \{B_t\}_{t\geq 0} \end{eqnarray*}$ genau definiert habt.

Man kann den Prozess $\begin{eqnarray*} \{B_t\}_{t\geq 0} \end{eqnarray*}$ auch als Familie normalverteilter Zufallsvariablen auffassen. In diesem Sinne reicht meine Erklärung.

11.12.2007, 22:50

Ambrosius

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Brownsche Bewegungen haben wir als Levyprozesse mit Faltungshalbgruppe $\begin{eqnarray*} \left( N(0,t) \right)_{t \geq 0} \end{eqnarray*}$ definiert, wobei zusätzlich alle Pfade stetig sein sollen

12.12.2007, 10:26

Dual Space

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... schrecklich! Demnach musst du also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} Y_t \end{eqnarray*}$ ein Levyprozess mit einer solchen Faltungshalbgruppe ist.

Warum man Brownsche Prozesse so einführt, wird mir aber wohl immer verschlossen bleiben.

13.12.2007, 22:07

Ambrosius

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Hmm. Also gut:

Wir haben das in der VL so gemacht:
1. gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} Y_t \end{eqnarray*}$ ein Gaußprozess ist. Da ist ja mir klar.

2. Zentriertheit: auch klar

3. Kovarianzfunktion ausgerechnet

und dann die Folgerung dass $\begin{eqnarray*} Y_t \end{eqnarray*}$ die endlichedimensionalen Verteilungen einer 1-dim. Brownschen Bewegung hat.

Aber wieso folgt daraus die Levy-Eigenschaft?

Kann ich da so argumentieren, dass die Verteilung Zuwächse von $\begin{eqnarray*} Y_t \end{eqnarray*}$ in geweisser Weise einer endlichdimensionale Verteilung der Brownschen bewegung entspricht und die Eigenschaften sich daher übertragen?

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