infimum und supremum |
11.12.2007, 13:53 | FrankyHill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
infimum und supremum Gesucht ist also die obere und untere Schranke der Folge! Wie löse ich so eine Aufgabe. Habe durch einsetzen und probieren eine Lösung von max=1 min=-0,5 raus. Stimmt das so und gibt es da andere möglichkeiten so was zu lösen? |
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11.12.2007, 14:03 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: infimum und supremum Müsste das nicht "symmetrisch" sein... Die Folge "alternierd" doch... |
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11.12.2007, 14:04 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: infimum und supremum Ich würde die Teilfolgen für gerades und ungerades n betrachten und dann mit Grenzwerten und Monotonieeigenschaften argumentieren. |
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11.12.2007, 14:10 | FrankyHill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: infimum und supremum Klingt ja ganz gut was ihr schreibt aber wie sieht das dann aus! Habe sowas noch nie gemacht!! |
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11.12.2007, 14:11 | Ambrosius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
durch einsetzen und probieren ein ergebnis zu erhalten reicht nicht. damit kannst du dir lediglich einen eindruck verschaffen, was rauskommen könnte. du solltest Klarsoweits tipp befolgen und dir diese Teilfolgen anschauen. dann ist es sehr leicht nachzurechnen, wenn du noch monotonie betrachtest EDIT: Betrachte zunächst die Folge In der Definition der Folge ersetzt du dann jedes n durch ein 2n. Wie vereinfacht sich die Folge? Was lässt sich über Monotonie sagen? Was über Beschränktheit? gabs nicht einen Satz über monotone und beschränkte Folgen? |
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11.12.2007, 14:24 | FrankyHill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also zerlege ich es erst mal in Teilfolgen und somit erkenne ich das die erste Teilfolge ein max. von 1 und ein min. von -1 hat. Bei der zweiten Teilfolge würde ich sagen das sie ein max. von 1 und ein min. von 0 hat. |
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11.12.2007, 14:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Falsch. Du solltest in Teilfolgen zerlegen, bei denen einmal das n nur gerade ist (also n=2k gilt), und einmal n nur ungerade ist (also n=2k+1 gilt). |
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11.12.2007, 14:28 | FrankyHill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
sorry aber dat schnall ich jetzt net! |
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11.12.2007, 14:35 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Setz doch mal für n das 2k ein. |
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11.12.2007, 14:42 | FrankyHill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also und |
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11.12.2007, 14:42 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielleicht hilft dir ein Bild, um klarsoweit besser zu folgen. Dies ist aber kein Beweis. rot für gerades n, grün für ungerades n. @all: Können wir eigentlich auch Folgen plotten? Oder kann man das irgendwo online machen und hierher kopieren? |
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11.12.2007, 14:46 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Absolut nicht. Nimm die Folge a_n, die da lautet , und jetzt suche die darin vorkommenden n und schreibe für diese 2k. |
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11.12.2007, 14:59 | FrankyHill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
11.12.2007, 15:05 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Habe noch ein n gefunden: Was ist nun ? Was kannst du über Monotonie und Konvergenz von dem Rest sagen? |
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11.12.2007, 15:31 | FrankyHill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ist in jedem Fall 1. zur monotonie vom Rest würde ich sagen das die Folge fallend ist. |
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11.12.2007, 15:46 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann schauen wir uns mal näher an: k=0: a_0 = 0 k=1: a_2 = 3/4 k=2: a_4 = 15/16 Also mit fallender Monotonie scheint es mir nichts zu werden. |
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11.12.2007, 15:51 | FrankyHill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Stimmt, um so größer ich k wähle um so kleiner wird die Zahl die ich von der 1 abziehe. Also kann man wohl von monoton steigend spechen. |
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11.12.2007, 16:02 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig. Das sollte man natürlich mathematisch etwas genauer aufschreiben. Welchen Grenzwert hat jetzt diese Teilfolge? |
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11.12.2007, 16:07 | FrankyHill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Grenzwert müsste somit 1 sein! |
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11.12.2007, 16:11 | FrankyHill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Würde jetz die beiden Teilfolgen von einander abziehen. ( Grenzwertsatz zur Differenzenfolge) c_n=a_n - b_n = 1-1=0 |
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11.12.2007, 17:40 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ist richtig. Und zwar war das der Grenzwert der Teilfolge
Klingt toll, aber was soll b_n sein? Du solltest als nächstes die Teilfolge untersuchen. Wiederum Monotonie, Grenzwert? |
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11.12.2007, 20:33 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich bringe noch einmal das Bild als Hilfe zurück. Die Folge "springt" zwischen rot und grün hin und her. Nun hat die Klarsoweit schon gesagt, wie du eine "rote" und eine "grüne" Teilfolge erhält. Diese gilt es einzeln zu untersuchen. Die "rote" habt ihr wohl auch schon nun analoges Vorgehen für die "grüne". |
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12.12.2007, 11:01 | FrankyHill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also die Teilfolge besteht aus was in jedem Fall -1 ergibt und aus folgt das mit wachsendem k der Wert den ich von 1 abziehe kleiner wir. Der Grenzwert der Teilfolge a_2k+1 ist somit -1. |
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12.12.2007, 11:11 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Grenzwert -1 stimmt. Und wie ist das Monotonieverhalten von ? |
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12.12.2007, 11:33 | FrankyHill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich denk das man in diesem Fall von fallender Monotonie spricht. Denn umso größer ich k wähle um so mehr nähre ich mich dem Grenzwert -1. Also die Zahl wird kleiner!! |
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12.12.2007, 11:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
OK. Fassen wir zusammen: Die erste Teilfolge ist immer >= 0, monoton steigend und hat Grenzwert 1. Die zweite Teilfolge ist immer < 0, monoton fallend und hat Grenzwert -1. Daraus kannst du jetzt Supremum und Infimum ablesen. |
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12.12.2007, 12:00 | FrankyHill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie ist den die korekte schreibweise für so etwas. |
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12.12.2007, 12:03 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Für was? Schreibe erstmal Prosa. Eine passende Schreibweise werden wir dann schon noch finden. |
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12.12.2007, 12:22 | FrankyHill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was ich bis jetzt weiß ist das das Supremum meine kleinste obere Schranke sein soll und das Infimum die größte untere Schranke. Leider weiß ich nicht wie ich dies ablesen soll! |
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12.12.2007, 12:29 | FrankyHill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Würde jetzt denken das die erste Teilfolge>=0<=1 sein muss. Analog dazu die zweite Teilfolge <=0>=-1. |
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12.12.2007, 12:41 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Offensichtlich geht die Folge beliebig nahe an 1 heran, aber nie über die 1 hinaus. Also ist 1 das Supremum. Du kannst auch leicht begründen, daß ein anderer Wert als 1 nicht als Supremum in Frage kommt. |
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12.12.2007, 12:45 | FrankyHill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Als begründung würde ich sagen das 1 das max. aller reellen Zahlen der Menge ist und somit auch das Supremum. Wie verhält sich das mit dem Infimum? Die Folge geht ja auch beliebig nahe an -1 heran aber nie darüber. Ist -1 dann das Infimum? Das würde ja bedeuten das ich es direkt aus den Grenzwerten der Teilmengen ablesen kann. Wenn dem so ist wird auch klar warum ich n=2k und n=2k+1 bestimmen sollte. |
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12.12.2007, 13:03 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da beißt sich die Katze aber in den Schwanz. Genau das wäre ja im Grunde zu zeigen. Du müßtest eigentlich begründen, warum was anderes als 1 nicht in Frage kommt. Warum kann zum Beispiel 1,1 oder 0,9 nicht Supremum sein?
Ja.
In diesem Fall ist das so. Muß aber nicht immer so sein. Beispiel: mit n >= 1. @tigerbine: bei dieser Folge scheitert auch dein "Symmetrie-Argument". |
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12.12.2007, 13:27 | FrankyHill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Tja, wie sol ich das weiter begründen? 1,1 ist auserhalb meiner meiner Menge an Folgen und 0,9 ist unterhalb meiner oberen Schranke. Aber das ist ja das selbe wie ich eben schon geschrieben habe. |
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12.12.2007, 13:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also zunächst mal ist 1 eine obere Schranke. Das ist klar, da der positive Teil der Folge monoton steigt und den Grenzwert 1 hat. Die 1 kann also nicht überschritten werden. Eine größere Zahl als 1 kann also nicht Supremum sein, da ja schon 1 eine obere Schranke darstellt. Eine kleinere Zahl als 1 kann nicht mehr obere Schranke sein. Denn angenommen es gebe eine Zahl a mit a < 1 und a ist obere Schranke. Dann müßte wegen der steigenden Monotonie die Folge gegen einen Grenzwert konvergieren, der kleiner oder gleich a wäre. Dies steht aber im Widerspruch zur Tatsache, daß die Folge gegen 1 konvergiert. Analog dann mit dem Infimum. |
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