infimum und supremum

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FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »
infimum und supremum
Geben sie infimum und supremum der folgenden beschränkten Folgen an.



Gesucht ist also die obere und untere Schranke der Folge!

Wie löse ich so eine Aufgabe.

Habe durch einsetzen und probieren eine Lösung von

max=1
min=-0,5

raus. Stimmt das so und gibt es da andere möglichkeiten so was zu lösen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: infimum und supremum
Müsste das nicht "symmetrisch" sein... Die Folge "alternierd" doch... verwirrt
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: infimum und supremum
Ich würde die Teilfolgen für gerades und ungerades n betrachten und dann mit Grenzwerten und Monotonieeigenschaften argumentieren.
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »
RE: infimum und supremum
Klingt ja ganz gut was ihr schreibt aber wie sieht das dann aus! Habe sowas noch nie gemacht!!
Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »

durch einsetzen und probieren ein ergebnis zu erhalten reicht nicht. damit kannst du dir lediglich einen eindruck verschaffen, was rauskommen könnte.

du solltest Klarsoweits tipp befolgen und dir diese Teilfolgen anschauen. dann ist es sehr leicht nachzurechnen, wenn du noch monotonie betrachtest

EDIT: Betrachte zunächst die Folge In der Definition der Folge ersetzt du dann jedes n durch ein 2n. Wie vereinfacht sich die Folge? Was lässt sich über Monotonie sagen? Was über Beschränktheit? gabs nicht einen Satz über monotone und beschränkte Folgen? Augenzwinkern
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Also zerlege ich es erst mal in Teilfolgen



und



somit erkenne ich das die erste Teilfolge ein max. von 1 und ein min. von -1 hat.

Bei der zweiten Teilfolge würde ich sagen das sie ein max. von 1 und ein min. von 0 hat.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Falsch. Du solltest in Teilfolgen zerlegen, bei denen einmal das n nur gerade ist (also n=2k gilt), und einmal n nur ungerade ist (also n=2k+1 gilt).
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

sorry aber dat schnall ich jetzt net!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Setz doch mal für n das 2k ein.
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Also

und

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft dir ein Bild, um klarsoweit besser zu folgen. Dies ist aber kein Beweis. rot für gerades n, grün für ungerades n.



@all: Können wir eigentlich auch Folgen plotten? Oder kann man das irgendwo online machen und hierher kopieren?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FrankyHill
Also

und


Absolut nicht. unglücklich

Nimm die Folge a_n, die da lautet , und jetzt suche die darin vorkommenden n und schreibe für diese 2k.
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Habe noch ein n gefunden: smile



Was ist nun ?

Was kannst du über Monotonie und Konvergenz von dem Rest sagen?
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

ist in jedem Fall 1.

zur monotonie vom Rest würde ich sagen das die Folge fallend ist.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schauen wir uns mal näher an:

k=0: a_0 = 0
k=1: a_2 = 3/4
k=2: a_4 = 15/16

Also mit fallender Monotonie scheint es mir nichts zu werden. smile
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, um so größer ich k wähle um so kleiner wird die Zahl die ich von der 1 abziehe. Also kann man wohl von monoton steigend spechen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Das sollte man natürlich mathematisch etwas genauer aufschreiben. Welchen Grenzwert hat jetzt diese Teilfolge?
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Der Grenzwert müsste somit 1 sein!
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Würde jetz die beiden Teilfolgen von einander abziehen. ( Grenzwertsatz zur Differenzenfolge)

c_n=a_n - b_n = 1-1=0
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FrankyHill
Der Grenzwert müsste somit 1 sein!

Ist richtig. Und zwar war das der Grenzwert der Teilfolge

Zitat:
Original von FrankyHill
Würde jetz die beiden Teilfolgen von einander abziehen. ( Grenzwertsatz zur Differenzenfolge)

c_n=a_n - b_n = 1-1=0

Klingt toll, aber was soll b_n sein?

Du solltest als nächstes die Teilfolge untersuchen. Wiederum Monotonie, Grenzwert?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Vielleicht hilft dir ein Bild, um klarsoweit besser zu folgen. Dies ist aber kein Beweis. rot für gerades n, grün für ungerades n.





Ich bringe noch einmal das Bild als Hilfe zurück. Die Folge "springt" zwischen rot und grün hin und her. Nun hat die Klarsoweit schon gesagt, wie du eine "rote" und eine "grüne" Teilfolge erhält. Diese gilt es einzeln zu untersuchen. Die "rote" habt ihr wohl auch schon nun analoges Vorgehen für die "grüne".

Wink
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Teilfolge

besteht aus was in jedem Fall -1 ergibt und aus folgt das mit wachsendem k der Wert den ich von 1 abziehe kleiner wir. Der Grenzwert der Teilfolge a_2k+1 ist somit -1.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Grenzwert -1 stimmt. Und wie ist das Monotonieverhalten von ?
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denk das man in diesem Fall von fallender Monotonie spricht. Denn umso größer ich k wähle um so mehr nähre ich mich dem Grenzwert -1. Also die Zahl wird kleiner!!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Fassen wir zusammen:

Die erste Teilfolge ist immer >= 0, monoton steigend und hat Grenzwert 1.
Die zweite Teilfolge ist immer < 0, monoton fallend und hat Grenzwert -1.

Daraus kannst du jetzt Supremum und Infimum ablesen.
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist den die korekte schreibweise für so etwas.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Für was? Schreibe erstmal Prosa. Eine passende Schreibweise werden wir dann schon noch finden.
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich bis jetzt weiß ist das das Supremum meine kleinste obere Schranke sein soll und das Infimum die größte untere Schranke. Leider weiß ich nicht wie ich dies ablesen soll!
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Würde jetzt denken das die erste Teilfolge>=0<=1 sein muss.
Analog dazu die zweite Teilfolge <=0>=-1.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Offensichtlich geht die Folge beliebig nahe an 1 heran, aber nie über die 1 hinaus. Also ist 1 das Supremum. Du kannst auch leicht begründen, daß ein anderer Wert als 1 nicht als Supremum in Frage kommt.
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Als begründung würde ich sagen das 1 das max. aller reellen Zahlen der Menge ist und somit auch das Supremum. Wie verhält sich das mit dem Infimum? Die Folge geht ja auch beliebig nahe an -1 heran aber nie darüber. Ist -1 dann das Infimum? Das würde ja bedeuten das ich es direkt aus den Grenzwerten der Teilmengen ablesen kann. Wenn dem so ist wird auch klar warum ich n=2k und n=2k+1 bestimmen sollte.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FrankyHill
Als begründung würde ich sagen das 1 das max. aller reellen Zahlen der Menge ist und somit auch das Supremum.

Da beißt sich die Katze aber in den Schwanz. Genau das wäre ja im Grunde zu zeigen. Du müßtest eigentlich begründen, warum was anderes als 1 nicht in Frage kommt. Warum kann zum Beispiel 1,1 oder 0,9 nicht Supremum sein?

Zitat:
Original von FrankyHill
Ist -1 dann das Infimum?

Ja.

Zitat:
Original von FrankyHill
Das würde ja bedeuten das ich es direkt aus den Grenzwerten der Teilmengen ablesen kann.

In diesem Fall ist das so. Muß aber nicht immer so sein. Beispiel: mit n >= 1.

@tigerbine: bei dieser Folge scheitert auch dein "Symmetrie-Argument". Augenzwinkern
FrankyHill Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, wie sol ich das weiter begründen? 1,1 ist auserhalb meiner meiner Menge an Folgen und 0,9 ist unterhalb meiner oberen Schranke. Aber das ist ja das selbe wie ich eben schon geschrieben habe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also zunächst mal ist 1 eine obere Schranke. Das ist klar, da der positive Teil der Folge monoton steigt und den Grenzwert 1 hat. Die 1 kann also nicht überschritten werden. Eine größere Zahl als 1 kann also nicht Supremum sein, da ja schon 1 eine obere Schranke darstellt. Eine kleinere Zahl als 1 kann nicht mehr obere Schranke sein. Denn angenommen es gebe eine Zahl a mit a < 1 und a ist obere Schranke. Dann müßte wegen der steigenden Monotonie die Folge gegen einen Grenzwert konvergieren, der kleiner oder gleich a wäre. Dies steht aber im Widerspruch zur Tatsache, daß die Folge gegen 1 konvergiert.

Analog dann mit dem Infimum.
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