Konvergenz von Folgen mit Wurzeln

11.12.2007, 15:08

Blacks

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Konvergenz von Folgen mit Wurzeln

Hallo mal wieder!
Ich habe 3 Folgen, die ich auf Konvergenzen/Divergenzen untersuchen möchte:
$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{n+1000} - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_n = \sqrt{n+\sqrt{n} } - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_n = \sqrt{n+ \frac{n}{1000} } - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Ich kann die Konvergenzen recht schnell ohne Rechnung erkennen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } b_n = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } c_n = \infty \end{eqnarray*}$

Bisher kamen Wurzeln entweder in Brüchen vor, so dass ich ausklammern und so den Grenzwert bestimmen konnte. Oder aber es waren Wurzeln der Form $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a} \end{eqnarray*}$ , von denen ich weiss, dass der Grenzwert 1 ist.
Bei diesen 3 Folgen fehlt mir allerdings komplett der Ansatz.
Daher bitte ich um Hilfe.

11.12.2007, 15:15

Dual Space

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RE: Konvergenz von Folgen mit Wurzeln
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1000}-\sqrt{n}=\frac{1000}{\sqrt{n+1000}+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

11.12.2007, 15:36

Blacks

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Also:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1000} - \sqrt{n} = \frac{1000}{\sqrt{n+1000}+\sqrt{n} } = \frac{\frac{1000}{\sqrt{n} } }{ \frac{\sqrt{n+1000} }{\sqrt{n} }+1 } \end{eqnarray*}$

Darf ich jetzt hier schon abbrechen und sagen, dass der Grenzwert bei 0 liegt, weil der Zähler $\begin{eqnarray*} \frac{1000}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert?
Und dürfte man über den Nenner $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+1000} }{\sqrt{n} }+1 \end{eqnarray*}$ die Aussage machen, dass er gegen 2 konvergiert ohne weiter umzuformen?

11.12.2007, 18:30

brain man

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Zitat:

Original von Blacks
Also:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1000} - \sqrt{n} = \frac{1000}{\sqrt{n+1000}+\sqrt{n} } = \frac{\frac{1000}{\sqrt{n} } }{ \frac{\sqrt{n+1000} }{\sqrt{n} }+1 } \end{eqnarray*}$

Da hat anscheinend einer aus ner Summe gekürzt - wie dumm. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Darf ich jetzt hier schon abbrechen und sagen, dass der Grenzwert bei 0 liegt, weil der Zähler $\begin{eqnarray*} \frac{1000}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert?

Darfste net.
Es ist :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n^{-7}}{n^-5} = \infty \end{eqnarray*}$

obwohl der Grenzwert des Nenners 0 ist.

11.12.2007, 19:27

Dual Space

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Zitat:

Original von Blacks
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1000} - \sqrt{n} = \frac{1000}{\sqrt{n+1000}+\sqrt{n} } = \frac{\frac{1000}{\sqrt{n} } }{ \frac{\sqrt{n+1000} }{\sqrt{n} }+1 } \end{eqnarray*}$

Die letzte Umformung ist überflüssig, wenn man weiß, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{n}\to\infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

11.12.2007, 20:45

Blacks

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hmmm...
@ brain man:
Die Bemerkung von wegen "aus einer Summe gekürzt" versteh ich nicht. Ich schätze, ich steh auf dem Schlauch. Aber, dass ich da nicht abbrechen dürfte hab ich verstanden.

@Dual Space:
Also bleibe ich bei $\begin{eqnarray*} \frac{1000}{\sqrt{n+1000}+\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ und kann mit der Argumentation: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{n} = \infty \end{eqnarray*}$
direkt ablesen, dass der Grenzwert 0 ist?

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12.12.2007, 08:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von brain man
Da hat anscheinend einer aus ner Summe gekürzt - wie dumm. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da bist du auf dem Holzweg.

Zitat:

Original von Blacks
Also bleibe ich bei $\begin{eqnarray*} \frac{1000}{\sqrt{n+1000}+\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ und kann mit der Argumentation: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{n} = \infty \end{eqnarray*}$
direkt ablesen, dass der Grenzwert 0 ist?

Im Prinzip ja, wobei man meinetwegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1000} \end{eqnarray*}$ noch nach unten mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ abschätzen kann.

12.12.2007, 11:31

Blacks

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Dann schaue ich mir nun noch die anderen beiden Folgen an:

$\begin{eqnarray*} b_n= \sqrt{n+\sqrt{n} } -\sqrt{n} = \frac{\sqrt{n} }{\sqrt{n+\sqrt{n} }+\sqrt{n} } = \frac{1}{\frac{\sqrt{n+\sqrt{n}} }{\sqrt{n} } +1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich hier mir $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{n} }{\sqrt{n+\sqrt{n} } } = 1 \end{eqnarray*}$ argumentieren darf, dann ist der grenzwert 0,5.

$\begin{eqnarray*} c_n= \sqrt{n+\frac{n}{1000} } -\sqrt{n} = \frac{\frac{n}{1000} }{\sqrt{n+\frac{n}{1000} } +\sqrt{n}} = \frac{\frac{1}{1000} }{\frac{\sqrt{n+\frac{n}{1000} } }{n} +\frac{1}{\sqrt{n} } } \end{eqnarray*}$

Ich habe im letzten Schritt mit $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n} \end{eqnarray*}$ erweitert. Wenn ich hierbei mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{n+\frac{n}{1000} } }{n}= 0 \end{eqnarray*}$ argumentieren darf, dann ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Ist das soweit richtig?
Wenn ja, dann bin ich mir immernoch nicht ganz sicher, wann ich meine Umformungen abbrechen darf und welche Grenzwerte, wie $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{n+\frac{n}{1000} } }{n}= 0 \end{eqnarray*}$ ich als bekannt oder selbstverständlich vorraussetzen darf.

12.12.2007, 11:46

Dual Space

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Zitat:

Original von Blacks
Wenn ich hier mir $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{n} }{\sqrt{n+\sqrt{n} } } = 1 \end{eqnarray*}$ argumentieren darf, dann ist der grenzwert 0,5.

Das darfst du - sofern dieser Grenzwert in der Vorlesung/Übung schon berechnet wurde (und dieser tatsächlich 1 ist). Falls nicht, wäre das an dieser Stelle zu tun. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.12.2007, 11:57

Blacks

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Ok.
Der Grenzwert ist ganz sicher 1. Ich glaube, dass man solche einfachen Grenzwerte recht schnell direkt erkennen kann.
Aber berechnet haben wir diesen Grenzwert noch nicht. Wie würde ich denn hierbei vorgehen? Wenn ich weiter umforme, drehe ich mich nach spätestens 2 Schritten nur im Kreis.

12.12.2007, 12:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Blacks
Wenn ich hier mir $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{n} }{\sqrt{n+\sqrt{n} } } = 1 \end{eqnarray*}$ argumentieren darf, dann ist der grenzwert 0,5.

Das solltest du natürlich noch begründen.

Zitat:

Original von Blacks
Ich habe im letzten Schritt mit $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n} \end{eqnarray*}$ erweitert.

Vermutlich wohl mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . smile

smile

Zitat:

Original von Blacks
Wenn ich hierbei mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{n+\frac{n}{1000} } }{n}= 0 \end{eqnarray*}$ argumentieren darf, dann ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Ist prinzipiell ok, wobei das mit dem Grenzwert Null ebenfalls zu begründen wäre. Vielleicht wäre die Erweiterung mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt n} \end{eqnarray*}$ etwas geschickter.

Zitat:

Original von Blacks
Wenn ja, dann bin ich mir immernoch nicht ganz sicher, wann ich meine Umformungen abbrechen darf und welche Grenzwerte, wie $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{n+\frac{n}{1000} } }{n}= 0 \end{eqnarray*}$ ich als bekannt oder selbstverständlich vorraussetzen darf.

Die Umformungen darfst du dann abbrechen, wenn du auf Terme kommst, deren Grenzwerte bekannt sind. Unter Umständen mußt du den einen oder anderen Grenzwert separat nachweisen. Bestimmte Grenzwerte kann man natürlich als bekannt voraussetzen. Aber da lieber mal einen mehr als zu wenig begründen.

12.12.2007, 12:16

Blacks

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Ja, das hast du recht. Ich habe Zähler und Nenner natürlich mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ erweitert. Mein Fehler.

Nun stoße ich allerdings wieder auf Probleme.
Ich stehe also bei:

$\begin{eqnarray*} b_n= \frac{1}{\frac{\sqrt{n+\sqrt{n} } }{\sqrt{n} }+1 } \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} c_n=\frac{\frac{1}{1000} }{\frac{\sqrt{n+ \frac{n}{1000}} }{n} +\frac{1}{\sqrt{n} } } \end{eqnarray*}$ .
Nun wüsste ich aber nicht, wie ich
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n} } }{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+ \frac{n}{1000}} }{n} \end{eqnarray*}$
weiter umformen sollte, um deren Grenzwerte 1 und 0 nachzuweisen.

Auch wenn ich in $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ statt mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ erweitern würde, käme ich bei:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{n}{1000} }{\sqrt{n+ \frac{n}{1000}}+\sqrt{n} } = \frac{\frac{\sqrt{n} }{1000} }{\frac{\sqrt{n+\frac{n}{1000} }}{\sqrt{n} } + 1 } \end{eqnarray*}$
nicht weiter.

12.12.2007, 12:43

klarsoweit

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Kümmern wir uns erstmal um $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n} } }{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

Da kannst du die Wurzel über den ganzen Bruch schreiben.

12.12.2007, 13:06

Blacks

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Alles klar...ich könnte mir selbst für sowas in der Arsch treten...

Also für $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n} } }{\sqrt{n} } = \sqrt{\frac{n+\sqrt{n} }{n } } = \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n} } }= \sqrt{1+0} = 1 \end{eqnarray*}$

Somit konvergiert $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Und für $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\sqrt{n} }{1000} }{\frac{\sqrt{n+ \frac{n}{1000}} }{\sqrt{n} } +1} = \frac{\frac{\sqrt{n} }{1000} }{\sqrt{\frac{n+\frac{n}{1000} }{n} }+1 }= \frac{\frac{\sqrt{n} }{1000} }{\sqrt{1+\frac{1}{1000} } +1 } \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{n} = \infty \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ also gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

So, ich glaub ich habs soweit verstanden, oder sind noch irgendwo Fehler?

12.12.2007, 13:19

klarsoweit

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Wenn du vor die Terme, in denen noch ein n vorkommt, ein Limes n gegen unendlich schreibst, dann wäre es kaum zum Aushalten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.12.2007, 13:27

Blacks

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$\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }(\frac{\sqrt{n+\sqrt{n} } }{\sqrt{n} }) = \lim_{n \to \infty }(\sqrt{\frac{n+\sqrt{n} }{n } }) = \lim_{n \to \infty }(\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n} } })= \sqrt{1+0} = 1 \end{eqnarray*}$

Somit konvergiert $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }(\frac{\frac{\sqrt{n} }{1000} }{\frac{\sqrt{n+ \frac{n}{1000}} }{\sqrt{n} } +1}) = \lim_{n \to \infty }(\frac{\frac{\sqrt{n} }{1000} }{\sqrt{\frac{n+\frac{n}{1000} }{n} }+1 })= \lim_{n \to \infty }(\frac{\frac{\sqrt{n} }{1000} }{\sqrt{1+\frac{1}{1000} } +1 }) \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{n} = \infty \end{eqnarray*}$ ist also: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } c_n = \infty \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank!

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