grenzwert

11.12.2007, 19:01

FabiB

grenzwert

wie untersuche ich ob folgender grenzwert existiert?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} (\frac{1}{2-x} - \frac{12}{8-x^3} ) \end{eqnarray*}$

was mich daran stört ist das x gegen 2 geht, anstatt gegen unendlich.
sowas habe ich noch nie erlebt.

11.12.2007, 19:05

tmo

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benutze $\begin{eqnarray*} 8-x^3 = (2-x)(x^2+2x+4) \end{eqnarray*}$ um die brüche erstmal zusammenzufassen.

das ziel ist es den ausdruck so umzuformen, dass er stetig an der stelle 2 ist. dann ist der grenzübergang sehr einfach.

11.12.2007, 20:27

FabiB

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warum ist das das ziel?

11.12.2007, 20:31

tmo

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damit du den grenzübergang durchführen kannst. denn im moment steht da sozusagen $\begin{eqnarray*} \infty-\infty \end{eqnarray*}$ .

damit kannst du wenig anfangen.

12.12.2007, 00:04

FabiB

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durch umformung erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} (-12*\frac{1}{2-x}) \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig?

ich weiss leider nicht wie es weiter geht.

12.12.2007, 07:48

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Zitat:

Original von FabiB
durch umformung erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} (-12*\frac{1}{2-x}) \end{eqnarray*}$

Die Umformung musst du mal zeigen - jedenfalls ist sie falsch. Warum befolgst du nicht den obigen Tipp mit dem Zusammenfassen, also alles erstmal auf einen Hauptnenner bringen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2} \left(\frac{1}{2-x}-\frac{12}{8-x^3}\right) = \lim_{x\to 2} \frac{(x^2+2x+4)-12}{(2-x)(x^2+2x+4)} = \lim_{x\to 2} \frac{x^2+2x-8}{(2-x)(x^2+2x+4)} \end{eqnarray*}$

Und jetzt schau dir mal die Nullstellen des Zählers an.

14.12.2007, 03:44

FabiB

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also existiert der grenzwert für x gegen 2 nicht, weil x=2 nullstelle vom zähler, also nicht definiert ist?

14.12.2007, 08:59

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Seit wann bedeutet eine Nullstelle für ein Polynom, dass es dort nicht definiert ist? Nein, schreib doch mal den Grenzwert hin, wenn der Zähler entsprechend der Nullstellen faktorisiert wird:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x+4)}{(2-x)(x^2+2x+4)} \end{eqnarray*}$ .

Wie erkennbar, ist 2 nicht nur Nullstelle des Zählers, sondern auch des Nenners. Was kann man denn mit dem Quotienten jetzt zweckmäßigerweise tun, wenn man an den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x\to 2 \end{eqnarray*}$ denkt? Gleich noch den Wink mit dem Zaunpfahl:

$\begin{eqnarray*} 2-x = -(x-2) \end{eqnarray*}$

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