n zahlen aus [0,1] gezogen???

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bil Auf diesen Beitrag antworten »
n zahlen aus [0,1] gezogen???
hi
Es werden zufällig und unabhängig n Zahlen aus dem Einheitsintervall gezogen, der Größe nach geordnet und dann mit X1,...,Xn bezeichnet.
Berechne E(Xk) für k=1,..,n (Hinweis: betrachte die Verteilungsfunktion von Xk für n=1,2,....).

Hab nichtmal einen Ansatz. Im Einheitsintervall sind ja unendlich viele Elemente, wie kann ich dann einen Erwartungswert ausrechnen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Als Dichte von habe ich



Der Erwartungswert von ist daher, wie es der Anschauung entspricht,

.

Meinen Überlegungen liegt der Wahrscheinlichkeitsraum



mit der Gleichverteilung zugrunde. Das -dimensionale Volumen von ist nach Fubini



Die Wahrscheinlichkeit einer meßbaren Menge ist daher



So erhält man z.B. für die Wahrscheinlichkeit



Substituiert man im inneren Integral



mit der Funktionaldeterminante



so folgt weiter





Die Verteilungsfunktion von ist daher



Und daraus erhält man durch Differentiation die Dichte . Ähnlich kann man auch die anderen Verteilungsfunktionen und Dichten bestimmen.

Der Weg hier ist sehr mühsam, vielleicht geht es ja eleganter. Und ganz sicher, daß das stimmt, bin ich mir auch nicht. Da mußt du warten, bis ein Fachmann für Wahrscheinlichkeitsrechnung sich meldet (Arthur).
bil Auf diesen Beitrag antworten »

ja verstehe nicht ganz wie du auf die dichte gekommen bist aber ich glaub da muss wirklich einen elganteren ansatz geben da viele sachen, die du benutzt hab ich noch nie gehört bzw. wurde in meiner vorlesung nicht durchgenommen. deswegen hoffe ich mal das noch jemand eine andere alternative bieten aber trotzdem vielen dank....
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich betrachte mal direkt die n ungeordneten [0,1]-verteilten Zufallsgrößen , dann gilt für



und weiter dann

.

Für die Dichte heißt das



also auf etwas anderem Weg auch Leopolds Resultat. Eleganter sieht's aber auch nicht gerade aus. Augenzwinkern
bil Auf diesen Beitrag antworten »

danke, habs verstanden...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich? Ich hatte nämlich gerade eben noch einen haarsträubenden Indexfehler korrigieren müssen (j,k).
 
 
bil Auf diesen Beitrag antworten »

ja hatte auch mehr die idee verstandenAugenzwinkern . hab mir hauptsächlich auch nur das g(x) angeschaut, den rest wollte ich morgen erst genauer checken. aber so wie es da steht muss ich es verstehen können. muss dann noch am ende das integral über 0 bis 1 ziehen und dann sollte ja auch der erwartungswert passen.
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