Konvergenzbedingung

12.12.2007, 08:44

s82

Konvergenzbedingung

Hallo Leute,
ich hab hier eine Aufgabe $\begin{eqnarray*} f_{(x)}=-0.5*\cos(x)-0.5=0 \end{eqnarray*}$ deren Lösung x=Pi ist.Nun soll man die Iterationsfunktion $\begin{eqnarray*} T_{(x)}=x \end{eqnarray*}$ bestimmen und die Konvergenzbedingung in der nähe der Lösung x=Pi untersuchen.
$\begin{eqnarray*} T_{(x)}=x \end{eqnarray*}$ zu bestimmen das bekomm ich noch hin:
$\begin{eqnarray*} T_{(x)}= \arccos(-1) \end{eqnarray*}$ ist konstant.

Ich habe zuhause ein Buch indem die Konvergenzbedingungen drin sind aber die 2. Konvergenzbedingung versteh ich leider nicht.Ich schreibe mal die Konvergenz bedingungen rein.

Konvergenzbedingungen:

$\begin{eqnarray*} x^{*} \end{eqnarray*}$ sei ein Fixpunkt
- ist $\begin{eqnarray*} \mid f'_{(x^*)} \mid <1 \end{eqnarray*}$ , so konvergiert $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ ,falls der Startwert $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nahe genug bei $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ liegt.Der Punkt $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ heißt dann anziehender Fixpunkt.

- ist $\begin{eqnarray*} \mid f'_{(x^*)} \mid >1 \end{eqnarray*}$ , so konvergiert $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ für keinen Sartwert $\begin{eqnarray*} x_0 \neq x^* \end{eqnarray*}$ . Der Punkt $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ heißt dann abstoßender Fixpunkt.

Wie gesagt die zweite Konvergenzbedingung versteh ich leider nicht.Ich verstehe das so,dass $\begin{eqnarray*} T_{(x)} \end{eqnarray*}$ divergieren muss,aber dann würde ich ja keinen Fixpunkt finden den ich anschließend in die 2. Konvergenzbedingung einsetzen muss???

Dann sollen wir die gleiche Aufgabe mit Newton lösen.Das ist kein Problem aber ich weis leider nicht die Konvergenzbedingung(en)?

Wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Danke Sven

20.12.2007, 20:17

Abakus

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RE: Konvergenzbedingung

Zitat:

Original von s82
- ist $\begin{eqnarray*} \mid f'_{(x^*)} \mid >1 \end{eqnarray*}$ , so konvergiert $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ für keinen Sartwert $\begin{eqnarray*} x_0 \neq x^* \end{eqnarray*}$ . Der Punkt $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ heißt dann abstoßender Fixpunkt.

Wie gesagt die zweite Konvergenzbedingung versteh ich leider nicht.Ich verstehe das so,dass $\begin{eqnarray*} T_{(x)} \end{eqnarray*}$ divergieren muss,aber dann würde ich ja keinen Fixpunkt finden den ich anschließend in die 2. Konvergenzbedingung einsetzen muss???

Für den Fixpunkt $\begin{eqnarray*} x^{*} \end{eqnarray*}$ hast du natürlich Konvergenz. Für diesen Fixpunkt gilt dann $\begin{eqnarray*} f'(x^{*}) = 1 \end{eqnarray*}$ . Für alle anderen Punkte hast du Divergenz.

Grüße Abakus smile

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