Beweis mittels Mittelwertsatz der Diffrechnung

12.12.2007, 13:33

Slithers

Beweis mittels Mittelwertsatz der Diffrechnung

Man zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung, dass für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sqrt{3} \leq x \leq \frac{3}{2} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \mid \arctan(x) - \frac{\pi}{3} \mid \leq \frac{4}{7} \mid x - \sqrt3 \mid \end{eqnarray*}$

Das ist meine Aufgabe.

In der Uni haben wir dazu ein Beispiel vorgerechnet bekommen, aber ich komme damit absolut nicht klar.
Der MWS ist mir bekannt
Für einen Tip in die richtige Richtung wäre ich sehr dankbar.

12.12.2007, 13:42

klarsoweit

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RE: Beweis mittels Mittelwertsatz der Diffrechnung
Tipp: rechne mal $\begin{eqnarray*} tan(\frac{\pi}{3}) \end{eqnarray*}$ aus. smile

12.12.2007, 15:00

Slithers

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$\begin{eqnarray*} \sqrt3 \end{eqnarray*}$ ist also gleich $\begin{eqnarray*} tan(\frac{\pi}{3}) \end{eqnarray*}$

mh...viel weiter bin ich aber noch nicht vom verständnis her verwirrt

12.12.2007, 15:06

klarsoweit

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Dann schreiben wir mal:

$\begin{eqnarray*} \frac{arctan(x) - arctan(\sqrt 3)}{x - \sqrt 3} \end{eqnarray*}$

Und darauf den Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden.

12.12.2007, 15:59

Slithers

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wie kommst du darauf?? ich versteh das nicht unglücklich

ahh doch moment..ich glaub ich habs!!!

12.12.2007, 16:31

Slithers

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Zitat:

Original von klarsoweit
Dann schreiben wir mal:

$\begin{eqnarray*} \frac{arctan(x) - arctan(\sqrt 3)}{x - \sqrt 3} \end{eqnarray*}$

Und darauf den Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden.

alles klar!! dann hab ich

$\begin{eqnarray*} \frac{arctan(x) - arctan(\sqrt 3)}{x - \sqrt 3} = \frac{1}{1+x_{0}^{2}} \end{eqnarray*}$

aber was nun ????

12.12.2007, 16:45

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Ja was ist den $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ? Gemäß MWS irgendeine Zahl zwischen $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Demnach erfüllt auch $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ die vorausgesetzte Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sqrt{3} \leq x_0 \leq \frac{3}{2} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ,

das hast du bisher noch nicht genutzt...

12.12.2007, 16:51

Slithers

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ich seh hier einfach nur formeln vor mir.
ich verstehe den sinn der sache überhauptnicht. geschweigedenn die vorgehensweise, wie ich zu einer lösung komme.

12.12.2007, 17:50

klarsoweit

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Jetzt machen wir erstmal Betragstriche drumherum:

$\begin{eqnarray*} \frac{|arctan(x) - arctan(\sqrt 3)|}{|x - \sqrt 3|} = \frac{1}{1+x_{0}^{2}} \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} x > \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \sqrt 3 < \sqrt 3 < x_0 < x \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} x < \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \sqrt 3 \leq x < x_0 \end{eqnarray*}$ .

Du kannst also x_0 nach unten durch $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ abschätzen.

12.12.2007, 20:57

Slithers

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ich steig da absolut nicht durch.
immernoch 0 durchblick.
morgen werd ich auf jeden fall mal meine kommilitonen fragen, ob die da schon ein ergebnis haben.

12.12.2007, 21:42

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Es ist schon schade, dass du einen Meter vor dem Ziel aufgibst. Aber das musst du selbst wissen.

12.12.2007, 23:12

Slithers

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das einzige was mir bisher klar geworden ist, ist $\begin{eqnarray*} \sqrt3 = tan(\frac{\pi}{3}) \end{eqnarray*}$ .

Wie der MWS hier angewendet ist, verstehe ich nicht.

Das ist alles schön und gut, aber ich verstehe den Sinn der Schritte hier nicht. Die Vorgehensweise ist mir schleiherhaft. Was will ich überhaupt zeigen?
Solange ich das nicht weiß, bringt es mir nix hier rumzuraten. Was anderes kann ich hier nicht.

13.12.2007, 09:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Slithers
Wie der MWS hier angewendet ist, verstehe ich nicht.

Da steht's:

Zitat:

Original von Slithers
alles klar!! dann hab ich

$\begin{eqnarray*} \frac{arctan(x) - arctan(\sqrt 3)}{x - \sqrt 3} = \frac{1}{1+x_{0}^{2}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Slithers
Die Vorgehensweise ist mir schleiherhaft.

Das wurde schon mehrmals deutlich gesagt: den MWS geeignet anwenden.

Zitat:

Original von Slithers
Was will ich überhaupt zeigen?

Das:

Zitat:

Original von Slithers
$\begin{eqnarray*} \mid \arctan(x) - \frac{\pi}{3} \mid \leq \frac{4}{7} \mid x - \sqrt3 \mid \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich schon alles vorgekaut und dir gesagt, wie du abschätzen mußt, und du weigerst dich, auch nur ein Stückchen zu rechnen. unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{arctan(x) - arctan(\sqrt 3)}{x - \sqrt 3} = \frac{1}{1+x_{0}^2} \end{eqnarray*}$
==>
$\begin{eqnarray*} \frac{|arctan(x) - arctan(\sqrt 3)|}{|x - \sqrt 3|} = \frac{1}{1+x_{0}^2} \end{eqnarray*}$
==>
$\begin{eqnarray*} \frac{|arctan(x) - arctan(\sqrt 3)|}{|x - \sqrt 3|} \leq \frac{1}{1+(\frac 1 2 \sqrt 3)^2} \end{eqnarray*}$

Und den allerletzten Schritt darfst du nun wirklich mal selbst machen.

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