Gleichungssystem und Newton

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12.12.2007, 16:45	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem und Newton Hab hier ein Problem. Soll das Newton-Verfahren zum nichtlinearen Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} Ax=\lambda x ; \|\|x\|\|_2^2=1 \end{eqnarray}$ (Eigentwertproblem) $\begin{eqnarray} A\in \mathbb R^{nxn} \end{eqnarray}$ Muss ich mir nun eine Fkt definieren: $\begin{eqnarray} f=(f_1 (x),....,f_{n+1}(x)) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} x=(x_1,...x_n) \end{eqnarray}$ Die beiden Gleichungen kann ich ja umformen zu: $\begin{eqnarray} a_{11}x_1+....a_{1n}x_n-\lambda x_1=0\\a_{21}x_1+....a_{2n}x_n-\lambda x_2=0\\ \vdots \\ a_{n1}x_1+....a_{nn}x_n-\lambda x_n=0 \\x_1^2+...+x_n^2-1=0 \end{eqnarray}$ Dann wuerde ich $\begin{eqnarray} f_1(x_1,...,x_n):=a_{11}x_1+....a_{1n}x_n-\lambda x_1 \end{eqnarray}$ etc. definieren. Dann folgt $\begin{eqnarray} f(x)=(f_1(x),...,f_{n+1}(x))=0 \end{eqnarray}$ Muss ich nun: $\begin{eqnarray} x_{n+1}=x_n-f'(x_n)^{-1}f(x_n) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n=0,1,2,.. \end{eqnarray}$ berechnen? $\begin{eqnarray} f'(x_n)^{-1} \end{eqnarray}$ ist die zur Ableitung $\begin{eqnarray} f'(x_n) \end{eqnarray}$ inverse Matrix. Wie genau soll ich das Newton Verfahren nun aufstellen ? Haenge da irgendwie fest
12.12.2007, 17:12	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht alles richtig aus, das Verfahren haste ja da schon hingeschrieben. Von der Jacobimatrix (also der Ableitung von f) kannste z.b. ne LR-Zerlegung machen, dann brauchste die nicht zu invertieren, sondern danach nur noch rückwärts und vorwärts einsetzen. mfg 20
13.12.2007, 11:14	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dann hab ich aber nochmal eine Frage: Wie deute ich $\begin{eqnarray} f(x_n) \end{eqnarray}$ in der Newton Formel. Meine Funktion f hat doch n+1 Teilfunktionen. Ist das dann $\begin{eqnarray} f=(f_1(x_n,....,x_n),....,f_{n+1}(x_n,...,x_n)) \end{eqnarray}$ Muss ich nun das Newton Verfahren fuer alle n aufstellen oder reicht es fuer die Ausgangsdefinition ( also nur $\begin{eqnarray} f'(x_n)^{-1}f(x_n) \end{eqnarray}$ ausrechnen) $\begin{eqnarray} x_{n+1}=x_n-f'(x_n)^{-1}f(x_n) \end{eqnarray}$
13.12.2007, 13:20	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, vorsicht! Schreib den Index lieber nach oben, das ist ja die Iterationsfolge, nicht der n-te bzw. n+1-te Eintrag. Du brauchst also einen Startvektor(!), nicht Startwert, $\begin{eqnarray} x^0 \end{eqnarray}$ mit Komponenten $\begin{eqnarray} x_i^0 \end{eqnarray}$ . Jetzt klarer? Also du setzt immer den ganzen Vektor $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ in die Funktion ein, natürlich in jede Komponente, es soll ja auch wieder ein Vektor $\begin{eqnarray} x^{n+1} \end{eqnarray}$ rauskommen. mfg 20
13.12.2007, 14:11	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi ok. Nun nehme ich mir den Vektor $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ mit Komponenten $\begin{eqnarray} x_i^n \end{eqnarray}$ Nun moechte ich die Jacobi-Matrix von $\begin{eqnarray} f'(x^n) \end{eqnarray}$ aufstellen. Ich komme da auf $\begin{eqnarray} f'(x^n)=\begin{pmatrix}(a_{11}-\lambda) & a_{12}& \ldots & a_{1n} \\a_{21}&(a_{22}-\lambda)&\ldots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\a_{n1} & a_{n2}& \ldots & (a_{nn}-\lambda)\\ 2x_1^n & 2x_2^n &\ldots &2x_n^n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hab ich das nun verstanden und ist das richtig ? Dann muesste ich nun die Matrix invertieren ...damit waer ich doch fast fertig, richtig ? Grüße
13.12.2007, 14:30	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die letzte Zeile der Matrix kann ich nicht nachvollziehen, sie ist falsch. Zumal dadurch die Matrix nicht mehr quadratisch ist. mfG 20
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13.12.2007, 14:37	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo ich sehs auch gerade.... $\begin{eqnarray} f'(x^n)=\begin{pmatrix}(a_{11}-\lambda) & a_{12}& \ldots & a_{1n} \\a_{21}&(a_{22}-\lambda)&\ldots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\a_{n1} & a_{n2}& \ldots & (a_{nn}-\lambda)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun muesste ich diese Matrix invertieren.....koennte was dauern
13.12.2007, 15:11	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Allgemeinen oder hast du einen Speziallfall?
13.12.2007, 15:14	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich soll das Newton Verfahren im Allgemeinen fuer das Eigenwert-Problem aufstellen
13.12.2007, 15:32	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dann würde ich sagen, dass du fertig bist, denn die Matrix muss in jedem Schritt zerlegt (oder invertiert) werden. Das Verfahren aufstellen besteht hauptsächlich darin, die Funktion f zu finden, denke ich. mfG 20
14.12.2007, 10:06	piloan	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage habe ich dann noch Ich hatte ja vorher $\begin{eqnarray} f(x)=(f_1,....f_{n+1}) \end{eqnarray}$ definiert. Wo fließt in meine Ableitung die n+1-Teilfunktion ein? Und es reicht dann wohl zu sagen: $\begin{eqnarray} x_{n+1}=x_n-\left(\begin{pmatrix}(a_{11}-\lambda) & a_{12}& \ldots & a_{1n} \\a_{21}&(a_{22}-\lambda)&\ldots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\a_{n1} & a_{n2}& \ldots & (a_{nn}-\lambda)\end{pmatrix}\right)^{-1}\cdot f(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ (wie oben definiert) Mfg
15.12.2007, 19:28	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach herrje, die Bedingung hab ich verpennt... Ich hatte mich schon gewundert, denn meines Wissens kann man Eigenwerte mit dem Newtonverfahren nicht bestimmen. Dafür braucht man Vektoriteration, oder komplizierteres... Deine Matrix ist dann nicht mehr quadratisch, und um die Newtoniteration auszuführen musst du jedesmall lineare Ausgleichsrechnung machen, also eine QR-Zerlegung, wenn dir das schon was sagt... mfG 20
04.02.2008, 12:53	Zveky	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, ich mache gleich hier weiter da es sich ja um eine ähnliche Aufgabe handelt: ich habe folgendes gegeben: $\begin{eqnarray} 3x^2-y^2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3xy^2-x^3=1 \end{eqnarray}$ a)zeige dass x=0.6, y=0.8 grobe Näherungen sind b)verbessere Näherung 1x mit geeignetem Verfahren So, hier muss man es auch durch die inverse Jacobimatrix lösen: Xneu = Xalt - F'(Xalt)^-1 * F(Xalt) Also habe ich es erstmal in diese Form gebracht: $\begin{eqnarray} F{x\choose y}={3x^2-y^2 \choose 3xy^2-x^3-1} \end{eqnarray}$ nun die Matrix, x=x1, y=x2: $\begin{eqnarray} F'(X_alt)= \begin{pmatrix} \frac{\partial F1}{x_1} & \frac{\partial F1}{x_2} \\ \frac{\partial F2}{x_1} & \frac{\partial F2}{x_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6x_1 & -2x_2 \\ 3x_2^2-3x_1^2 & 6x_1x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So, wie geht es nun weiter? Wie soll ich die MAtrix invertieren und in die obere Formel einbinden? Was soll ich das zum Schluss rauskriegen? Momentan verstehe ich da garnichts ... Danke

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