Ordnungsrelationen

12.12.2007, 20:30

Spinat - Blubb

Ordnungsrelationen

Servus!^^

Ich habe ein kleines Verständnisproblem bezüglich Ordnungsrealtionen bzw. Äquivalenzrealtionen.
Meines Verständnisses nach, kann eine Ordnungsrelation (definiert durch Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität) nicht zugleich eine Äquivalenzrealtion (definiert durch Reflexivität, Symmetrie und Transitivität) sein, das schließt sich doch gegenseitig aus, oder?

D.h. also eine Realtion die zugleich OR als auch ÄR Relation ist, ist sowohl Antisym. als auch sym? ......

12.12.2007, 20:48

Snowbord ;-)

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@ Hallo spinat - blubb <-- cooler Name ;-)

Erstmal zu deinem Problem: Es ist genauso wie du es geschrieben hast, wenn eine Relation sowohl antisym also auch sym, transitiv und reflexiv ist, dann ist diese sowohl eine ÄR als auch eine Ordnungsrelation!!

Ich hab aber auch ein Problem das in die Richtung deiner Frage geht. Vllt kann mir ja auch jmd. helfen. Ich studiere im 3.Semester Mathematik, aber hier die "Abteilung" liegt mir gar nicht :-(

Meine Aufgabe besteht darin:

Nummer 12

a) Beweisen Sie: Alle nicht leeren Relationen in einer Menge A, die sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch sind, bestehen nur aus Paaren (a,a) mit gleichen Komponenten.

b) Wie viele derartige Relationen gibt es in A = (1,2,3,4,5)? Nachweis!

c) Gibt es darunter welche, die Äquivalenzrealtionen / Ordnungsrelationen sind? Bewstimmen Sie jeweils alle.

d) Gibt es wlche, die sowohl Äquivalenzrealionen als auch Ordnungsrealtionen sidn? Wenn ja, bestimmen Sie diese. Unteruschen SIe sodann die Ordnungsrealtionen hinsichtlich Linearität, geben Sie bei den ÄR die Klassen an.

..... Also, bei d) heißt die erste Antwort ja ;-) und die Äquivalenzklassen bekomm ich auch noch hin, das ist aber im Moment auch schon alles. Hab ihr leider ein riesiges Brett vor meinem Kopf, aber vielleicht (hoffentlich) könnt ihr mir ein paar Denkanstöße geben! :-) Würde mich freuen.
Greets!

12.12.2007, 22:19

Abakus

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Zitat:

Original von Snowbord ;-)
a) Beweisen Sie: Alle nicht leeren Relationen in einer Menge A, die sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch sind, bestehen nur aus Paaren (a,a) mit gleichen Komponenten.

Die Gemeinsamkeit zur Frage von Spinat-Blubb liegt nur in (a) erstmal (das noch etwas modifiziert werden muss).

Erstmal, eine Relation, die sowohl reflexiv, symmetrisch als auch antisymmetrisch ist, ist bereits die Diagonale $\begin{eqnarray*} \Delta_A \end{eqnarray*}$ .

Könnt ihr das begründen ?

Dann wäre zu überlegen, was passiert, wenn das "reflexiv" weggelassen wird.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

13.12.2007, 10:22

Snowbord ;-)

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[quote]Original von Abakus

Erstmal, eine Relation, die sowohl reflexiv, symmetrisch als auch antisymmetrisch ist, ist bereits die Diagonale $\begin{eqnarray*} \Delta_A \end{eqnarray*}$ .

Sry, aber ich weiß noch nicht einmal was die Diagnole da ist ... :-( kannst du das bitte für ganz dumme erklären? Forum Kloppe

13.12.2007, 12:26

Abakus

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$\begin{eqnarray*} \Delta_A := \{(a, a) :~a \in A\} \end{eqnarray*}$ .

Bildlich gesehen: wenn du die Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ an der x- und y-Achse "aufträgst", ist die Relation die Diagonale. Das geht natürlich nur für dafür geeignete Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , erklärt aber immerhin die Bezeichnung.

Grüße Abakus smile

13.12.2007, 13:31

Snowbord ;-)

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und wie macht man dann folgendes?? auch anhand diese Diagonlae... funktioniert doch nicht :-(

a) Beweisen Sie: Alle nicht leeren Relationen in einer Menge A, die sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch sind, bestehen nur aus Paaren (a,a) mit gleichen Komponenten.

13.12.2007, 19:00

Abakus

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Zitat:

Das geht analog. Wenn du nicht drauf kommst: was heißt symmetrisch und antisymmetrisch für eine Relation ?

Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ eine solche Relation und $\begin{eqnarray*} (x, y) \in R \end{eqnarray*}$ . Was folgt nun aus den beiden Eigenschaften ?

Grüße Abakus smile

14.12.2007, 15:29

Snowbord ;-)

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R heißt symmetrsich, wenn gilt: (a,b) E R => (b,a) E R
R heißt antisymmetrisch, wenn gilt: (a,b) E R ^ (b,a) E R => a = b

d. h. also für die Funktion (x,y) E R ohne (0) sein muss und x = y sein muss.

daher stimmt dann auch, dass die Realtionen in einer Menge A, die sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch sind, nur aus Paaren (a,a) mit gleichen Komponenten. da ja a=a genau dassselbe ist wie x=y.... ??????

stimmt das soweit?? wenn ja, wie formuliere ich das ganze als Beweis??

Schonmal Danke.

lg zurück!!

15.12.2007, 13:42

Abakus

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Zitat:

Original von Abakus
Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ eine solche Relation und $\begin{eqnarray*} (x, y) \in R \end{eqnarray*}$ . Was folgt nun aus den beiden Eigenschaften ?

Die Definitionen hast du nun genannt. Jetzt fange mit obigem Satz an. Was folgt nun aus der Symmetrie, wenn $\begin{eqnarray*} (x, y) \in R \end{eqnarray*}$ ?

Grüße Abakus smile

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