Inegralrechnung Beweis Summenregel

13.12.2007, 14:57

TommyBoy

Inegralrechnung Beweis Summenregel

hi, ich habe in der Schule gerade mit Integralrechnung angefangen und habe (nicht freiwillig) die exklusive Aufgabe bekommen, zu beweisen, dass folgendes zutrifft:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x+x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=x^2+\frac{1}{3}x^3+c \end{eqnarray*}$

Grundsätzlich muss dort die Summenregel angewandt werden.
Diese besagt:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int_{b}^{a}~(f(x))~dx \end{eqnarray*}$

Wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x)=u(x)+v(x) \end{eqnarray*}$
dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~(f(x))~dx = \int_{b}^{a}~(u(x))~dx + \int_{b}^{a}~(v(x)) \end{eqnarray*}$

Aber wie beweise ich das Obige bzw. die Summenregel allgemein? Mir fehlt jeglicher Ansatz.
Ich hoffe, ihr schafft es, mir ein wenig auf die Sprünge zu helfen!

Danke, Tommy

Edit 1 und 2: Rechtschreibung

13.12.2007, 15:36

tmo

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du kannst es direkt über die definition des integrals als produktsumme machen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n} (u(x_i)+v(x_i))\cdot \Delta x_i= ... \end{eqnarray*}$

PS: aber deinem beitrag zu folge kennst du schon den hauptsatz. dann ist es doch eh kein problem mehr verwirrt

13.12.2007, 15:54

TommyBoy

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Kannst du bitte erklären, was das $\begin{eqnarray*} \Delta x_i \end{eqnarray*}$ in diesem Fall zu bedeuten hat und was der Index "i" zu sagen hat?

13.12.2007, 15:55

vektorraum

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Habt ihr die Summenregel so wirklich aufgeschrieben???

Das wäre sehr verwunderlich. Wahrscheinlich liegt hier mal wieder der Fall vor, dass der Hauptsatz zu einer Definition degradiert wurde unglücklich

Na ja, also am Beweis hinkt es dann noch ganz schön

Edit:

@Thredsteller: Wie habt ihr Integrierbarkeit eingeführt? Ich frage nur deshalb:

Zitat:

Original von TommyBoy
Kannst du bitte erklären, was das $\begin{eqnarray*} \Delta x_i \end{eqnarray*}$ in diesem Fall zu bedeuten hat und was der Index "i" zu sagen hat?

13.12.2007, 16:04

TommyBoy

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Wir haben sie noch gar nicht aufgeschrieben. Das habe ich mir selber ausgedacht, jedoch weiß ich nicht, wie ich das untenstehende beweisen kann, wenn den Hauptsatz $\begin{eqnarray*} nicht \end{eqnarray*}$ kenne:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2x+x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x) = x^2+\frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray*}$

13.12.2007, 16:12

vektorraum

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Ich glaube du verstehst das ganze noch nicht richtig. Die Summenregel der Integralrechnung besagt folgendes:

$\begin{eqnarray*} \int(f(x)+g(x)) ~\dd x=\int f(x)~\dd x+\int g(x)~\dd x \end{eqnarray*}$

Das gilt es zu beweisen?

13.12.2007, 16:18

TommyBoy

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Naja, nicht wirklich... Wir hatten die Aufgabe, die Formel $\begin{eqnarray*} f(x) = 2x + x^2 \end{eqnarray*}$ zu integreiren. Das Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} F(x) = x^2 + \frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray*}$ . Und Meine Lehrerin sagte, ich solle beweisen, dass dies zutrifft. Es kann auch sein, dass ich viel zu kompliziert denke... Deshalb frage ich, wie dies zu beweisen geht smile

13.12.2007, 16:20

Vieta

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Sagen dir Ober-und Untersumme was?

13.12.2007, 16:25

TommyBoy

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Ja, einigermaßen...

13.12.2007, 16:26

vektorraum

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Zitat:

Original von TommyBoy
Naja, nicht wirklich... Wir hatten die Aufgabe, die Formel $\begin{eqnarray*} f(x) = 2x + x^2 \end{eqnarray*}$ zu integreiren. Das Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} F(x) = x^2 + \frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray*}$ . Und Meine Lehrerin sagte, ich solle beweisen, dass dies zutrifft. Es kann auch sein, dass ich viel zu kompliziert denke... Deshalb frage ich, wie dies zu beweisen geht smile

Wie wärs wenn du einfach mal ableitest Augenzwinkern

Es kommt natürlich drauf an, welche Methoden erlaubt sind, aber Differenzierbarkeit sollte reichen...

Also nix mit Ober- und Untersumme.

13.12.2007, 16:31

TommyBoy

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Gut, diese Idee trifft's am Besten... Danke ^^

Wo wir gerade dabei sind: Wenn ich die aufgabe falsch verstanden habe, und doch
$\begin{eqnarray*} \int(f(x)+g(x)) ~\dd x=\int f(x)~\dd x+\int g(x)~\dd x \end{eqnarray*}$
beweisen soll? Wie geht das am Einfachsten?

13.12.2007, 16:34

vektorraum

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Folgt dann sofort aus den Rechenregeln für Summen...

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