Exponentialfunktionen mit komplexen Zahlen

13.12.2007, 17:51

Mulder

Exponentialfunktionen mit komplexen Zahlen

Hallo,

wir sind nun bei Exponentialfunktionen angelangt und sollen von einer komplexen Zahl Real- und Imaginärteil bestimmen.

$\begin{eqnarray*} z = e^{(n-i)^2} \end{eqnarray*}$

Mache ich das richtig, wenn ich erst einmal den Exponenten ausmultipliziere, und dann schreibe:

$\begin{eqnarray*} z = exp(n^2)* exp(-2in)* exp (i^2) \end{eqnarray*}$

Letzteres wäre dann ja -1. Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} z = exp(n^2-1)* exp(-2in) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit noch okay? Oder habe ich da was unerlaubtes getan?

Wäre dann der Realteil einfach $\begin{eqnarray*} exp(n^2-1) \end{eqnarray*}$ und der Imaginärteil $\begin{eqnarray*} exp(-2n) \end{eqnarray*}$ ?

Kann ich mir irgendwie nicht vorstellen... andererseits wüsste ich nicht, wie ich das i da raus bekommen sollte... den Logarithmus Naturalis hatten wir glaube ich noch nicht definiert...

Hilfe! Augenzwinkern

Edit: Sorry, das gehört natürlich in den Bereich "Hochschulmathematik". Mag einer der Moderatoren das beizeiten verschieben?

13.12.2007, 17:58

klarsoweit

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RE: Exponentialfunktionen mit komplexen Zahlen
Beachte die Formel:

$\begin{eqnarray*} e^{i \cdot \phi} = cos(\phi) + i \cdot sin(\phi) \end{eqnarray*}$

13.12.2007, 18:03

Mulder

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RE: Exponentialfunktionen mit komplexen Zahlen

Zitat:

Original von klarsoweit $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot \phi} = cos(\phi) + i \cdot sin(\phi) \end{eqnarray*}$

Okay, das höre ich nun wirklich zum ersten Mal... Augenzwinkern

Dann habe ich also $\begin{eqnarray*} cos(-2n)+i*sin(-2n) \end{eqnarray*}$ , und letzteres ist dann mein Imaginärteil, ja?

Und der ganz restliche Klumpatsch ist mein Realteil?

Also $\begin{eqnarray*} exp(n^2-1)*cos(-2n) \end{eqnarray*}$ ?

13.12.2007, 18:12

klarsoweit

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RE: Exponentialfunktionen mit komplexen Zahlen
So ist es. Freude

(Der Imaginärteil ist natürlich nur der Faktor hinter dem i. Augenzwinkern

)

13.12.2007, 18:30

Mulder

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RE: Exponentialfunktionen mit komplexen Zahlen

Zitat:

(Der Imaginärteil ist natürlich nur der Faktor hinter dem i.

Selbstvertürlich. Augenzwinkern

Nächstes Problem (meine Güte...): Der Betrag von z ist gesucht.

Normalerweise erhält man den ja einfach durch:

$\begin{eqnarray*} \mid z \mid ^2 = (Re(z))^2 + (Im(z))^2 \end{eqnarray*}$

Allerdings würde das ja in diesem Fall etwas merkwürdige Werte ergeben... wenn ich das einsetze und dann die Wurzel ziehe, kann man da ja kaum noch irgendwas vereinfachen...

Trotzdem in Ordnung? Oder gibt es da auch wieder so einen Supertrick wie zu der Aufgabe oben? Big Laugh

13.12.2007, 18:36

klarsoweit

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RE: Exponentialfunktionen mit komplexen Zahlen
Natürlich gibt es auch hier einen Supertrick. Augenzwinkern

Berechne mal $\begin{eqnarray*} |e^{i \cdot \phi}| \end{eqnarray*}$ .

13.12.2007, 18:45

Mulder

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RE: Exponentialfunktionen mit komplexen Zahlen
Soll man sich da zunutze machen, dass cos(x)^2 + sin(x)^2 = 1 ist? Das kommt nämlich nicht hin bei mir.

Ich bin jetzt bei:

$\begin{eqnarray*} [e^{bla!}] = cos(2n)^2 + i^2*sin(2n)^2 \end{eqnarray*}$

i^2 ist ja -1 ...

Ach ja: Ich hatte mich übrigens vertan, die korrekte Zahl z lautet: $\begin{eqnarray*} z = e^{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Habe ich für oben korrigiert, das bitte hier beachten. Sorry, mein Fehler.

13.12.2007, 19:19

klarsoweit

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RE: Exponentialfunktionen mit komplexen Zahlen

Zitat:

Original von Mulder
$\begin{eqnarray*} [e^{bla!}] = cos(2n)^2 + i^2*sin(2n)^2 \end{eqnarray*}$

Falsch. Wie berechnet man den Betrag einer komplexen Zahl? Du hast die Formel eigentlich weiter oben stehen. Du mußt nur Real- und Imaginärteil richtig einsetzen.

Zitat:

Original von Mulder
Ach ja: Ich hatte mich übrigens vertan, die korrekte Zahl z lautet: $\begin{eqnarray*} z = e^{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Soll n jetzt eine natürliche Zahl sein? Dann wäre das aber keine komplexe Zahl mehr.

13.12.2007, 19:23

Mulder

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RE: Exponentialfunktionen mit komplexen Zahlen

Zitat:

Soll n jetzt eine natürliche Zahl sein? Dann wäre das aber keine komplexe Zahl mehr.

Raaah, schon wieder vertippt! Das 1 soll natürlich ein i sein, dann kommt es hin. Hammer

Hmmm... was ist denn da falsch? Oder meinst du nur, dass noch Klammern um die beiden Ausdrücke gehören?

Edit: Ach ja, das i^2 gehört da ja gar nicht hin...

Dann weiß ich Bescheid. smile

13.12.2007, 19:31

Mulder

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RE: Exponentialfunktionen mit komplexen Zahlen
Also... da bin ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \mid z \mid ^2 = (exp(n^2-1)*cos(2n))^2 + (sin(2n))^2 \end{eqnarray*}$

Aber das ist ja irgendwie Bockmist.

Also muss ich hiermit irgendwie weiter machen, ja?

$\begin{eqnarray*} [e^{bla!}] = (cos(2n))^2 + (sin(2n))^2 \end{eqnarray*}$

13.12.2007, 22:30

Mulder

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RE: Exponentialfunktionen mit komplexen Zahlen
Eine erneute Bitte klingt wahrscheinlich immer unfreundlich oder ungeduldig, aber ich muss nochmal nachhaken:

Der untere Ausdruck in meinem letzten Beitrag ergibt ja 1, aber ich weiß nicht, wie ich damit nun fortfahren soll, bzw. wo ich das verwenden kann.

unglücklich

Anmerkung: Da ich mich ja einige Mal verschrieben habe: Gesucht ist der Betrag der Zahl z mit

$\begin{eqnarray*} z:= e^{(n+i)^2} \end{eqnarray*}$

Kann ich sagen: $\begin{eqnarray*} |z|^2 = exp(n^2-1)+1 \end{eqnarray*}$ ?

14.12.2007, 09:29

klarsoweit

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RE: Exponentialfunktionen mit komplexen Zahlen

Zitat:

Original von Mulder
Also... da bin ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \mid z \mid ^2 = (exp(n^2-1)*cos(2n))^2 + (sin(2n))^2 \end{eqnarray*}$

Bitte nicht an Klammern sparen. So wäre es richtig:
$\begin{eqnarray*} \mid z \mid ^2 = (exp(n^2-1) \cdot \left( (cos(2n))^2 + (sin(2n))^2 \right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mulder
Kann ich sagen: $\begin{eqnarray*} |z|^2 = exp(n^2-1)+1 \end{eqnarray*}$ ?

Nach der Korrektur von oben haben wir logischerweise:
$\begin{eqnarray*} |z|^2 = exp(n^2-1) \cdot 1 \end{eqnarray*}$

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