"kompliziertere" Polynome faktorisieren (Grad höher 2, allg. quadr. Gleichungen)

13.12.2007, 19:43	Leye	Auf diesen Beitrag antworten »
"kompliziertere" Polynome faktorisieren (Grad höher 2, allg. quadr. Gleichungen) Hi! Mich interessiert schon seit sehr länger Zeit immer wieder, wie man auch schwierigere Polynome in Linearfaktoren zerlegen kann. Damit meine ich zum Beispiel Polynome, deren Grad höher als 2 ist oder auch allgemeine quadratische Gleichungen der Form $\begin{eqnarray} ax^{2} + bx + c = 0 \end{eqnarray}$ , also mit einem Koeffizienten beim quadratischen Glied. "Gekürzte" quadratische Gleichungen sind ja noch recht einfach zu faktorisieren, indem man den Satz von Vieta benutzt. Schon schwieriger wird es mit einem Koeffizienten beim quadratischen Glied, zum Beispiel diese Gleichung: $\begin{eqnarray} 16x^{2} + 24x + 8 = 0 \end{eqnarray}$ Man kann natürlich erstmal "langweilig" faktorisieren. Das wäre zum Beispiel $\begin{eqnarray} 16x^{2} + 24x + 8 = 8 \times (2x^{2} + 3x + 1) \end{eqnarray}$ . Aber eine Zerlegung in Linearfaktoren ist das leider nicht. Trotzdem gibt es die Form $\begin{eqnarray} 16x^{2} + 24x + 8 = 8 \times (x + 1)(2x + 1) \end{eqnarray}$ , aus der man herauslesen kann, dass -1 eine Nullstelle ist und die Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray} 2x + 1 = 0 \end{eqnarray}$ . Diese Umformungen interessieren mich besonders. Gibt es irgendein Merkmal, womit man sich das Faktorisieren in eine Form wie die letzte vereinfachen kann? Anderes Beispiel, $\begin{eqnarray} 2x^{3} - 54 \end{eqnarray}$ . Das ist dasselbe wie $\begin{eqnarray} 2x^{3} - 54 = 2 \times(x - 3)(x^2{2}+ 3x + 9) \end{eqnarray}$ . Ganz schön geschickt, gibt es hier ein paar Tricks, wie man auf solche Produkte kommt? Beim letzten Beispiel konnte ich mir zum Beispiel schon denken, dass ein Linearfaktor die Form $\begin{eqnarray} (x - 3) \end{eqnarray}$ hat und außerdem der Faktor 2 vor allem stehen muss. Es würde nur noch der letzte Faktor fehlen; kann ich mit den Faktoren 2 und $\begin{eqnarray} (x - 3) \end{eqnarray}$ schon irgendwie einfacher auf den Faktor $\begin{eqnarray} (x^2 + 3x + 9) \end{eqnarray}$ kommen?
13.12.2007, 20:36	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: "kompliziertere" Polynome faktorisieren (Grad höher 2, allg. quadr. Gleichungen) Hmm, mal eine Frage vorab: Wie genau machst du das denn bisher, wenn du $\begin{eqnarray} (2x^2+3x+1) \end{eqnarray}$ faktorisierst? $\begin{eqnarray} (2x^2+3x+1) = 2(x^2 + \frac 3 2 x- \frac 1 2) \end{eqnarray}$ und dann probieren, bis du 2 Zahlen hast, die multilpliziert $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ und addiert $\begin{eqnarray} -p \end{eqnarray}$ ergeben? Die Lösungen geschickt erraten? Jedenfalls: Die Faktorisierung eines Polynoms $\begin{eqnarray} p_n(x) \end{eqnarray}$ enthält genau dessen Nullstellen $\begin{eqnarray} x_{0i} \end{eqnarray}$ mit umgekehrten Vorzeichen in den Linearfaktoren. D.h. wenn $\begin{eqnarray} p_n(x_{01}) = p_n(x_{02}) = \ldots = p_n(x_{0n}) \stackrel{!}{=} 0 \end{eqnarray}$ gilt, also die $\begin{eqnarray} x_{0i} \end{eqnarray}$ die Nulstellen sind, dann ist $\begin{eqnarray} p_n(x) = (x-x_{01})\cdot(x-x_{02})\cdot \ldots \cdot (x-x_{0n}) \end{eqnarray}$ die Faktorisierung des Polynoms. M.a.W.: Du brauchst also "nur" alle Nullstellen des Polynoms zu finden, dann kannst du die Faktorisierung direkt hinschreiben. Bei allgemeinen quadratischen Gleichungen wendest du einfach die abc-Formel an oder klammerst einfach $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ aus und löst dann $\begin{eqnarray} a(x^2+px+q)=0 \end{eqnarray}$ mit p-q-Formel. Bei Polynomen dritten Grades kannst du die Cardanischen Formeln anwenden, um die Nullstellen zu finden. Alternativ dazu kannst du die erste Nullstelle durch geschicktes Raten oder durch ein Näherungsverfahren finden und anschließend eine Polynomdivision machen. Im deinem Beispiel müsstest du also rechnen: $\begin{eqnarray} (2x^{3} - 54) \div (x - 3) = \ldots \end{eqnarray}$ Das Ergebnis $\begin{eqnarray} (2 x^2+ 6x + 18) \end{eqnarray}$ ergibt sich dann ohne raten direkt durch rechnen. Kannst du Polynomdivision? cst
13.12.2007, 21:03	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ein Tip: Zum "Raten" der Nullstellen Teiler des Absolutgliedes (und die additiv Inversen dazu) betrachten. air

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