funktionalgleichung |
| 14.12.2007, 11:16 | dominik21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| funktionalgleichung zeigen sie, dass es keine Funktionen f,g : IR -> IR gibt, die die folgende Bedinung erfüllt f(x) + g(y) = x*y V x,y € IR hab schon funktionen beispielsweise gewählt und werte eingesetz und mir klar zu machen, dass die gleichung nicht gelten kann 
. aber wie treffe ich hier eine allgemeingültige aussage ? help me pls
lg dome |
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| 14.12.2007, 11:22 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: funktionalgleichung Betrachte jeweils die Fälle x=0 und y=0. Diese reichen bereits, um den Widerspruch zu illustrieren. |
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| 14.12.2007, 11:27 | dominik21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann hab ich f(x) / xy + g(x) / xy = 0 und da x=y=0 sein kann, da x,y € IR ist die gleichung nicht definiert. richtiger ansatz ? danke vorallem für deine schnelle antwort |
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| 14.12.2007, 11:31 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein - falscher Ansatz. 
Also betrachten wir zunächst x=0. Dann ergibt die Gleichung für alle y: und damit muss folglich schon g(y)=-f(0) für alle y, also konstant sein. So nun betrachte mal den Fall y=0 und bringe beide Ergebnisse unter einen Hut. |
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| 14.12.2007, 11:36 | dominik21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also ist f(x) + g(0) = 0 damit f(x) = g(0) und für alle x konstant aber was fange ich damit an ? |
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| 14.12.2007, 11:53 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Damit weißt du folgendes: Angenommen es gäbe Funktionen g und f, die die Bedingung erfüllen, dann müssen diese schon zwangsläufig konstant sein. D.h. es gibt eine reelle Zahl c, so dass für alle x und y. Zeige nun nur noch, dass die Funktion nicht konstant ist. Dafür genügt die Angabe zweier Paare und mit . |
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| 14.12.2007, 12:23 | dominik21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jo cool danke. die nächste aufgabe ist dann f(x) * g(y) = x + y habe da nachgewiesen für x = 0 g(0) = x / f(x) also vür alle x konstant für y = 0 f(0) = y / g(y) also für alle y konstant Jetzt nehmen wir wieder an es gäbe die funktionen g und f die folgendes erfüllen : f(x) + g(y) = c V c € IR. wähle nun ein wertepaar usw . richtig ? |
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| 14.12.2007, 12:54 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. x=0 liefert und somit . Insbesondere muss also die Funktion g nicht konstant sein. Hier muss man also anders argumentieren.
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| 14.12.2007, 12:56 | dominik21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mist
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| 14.12.2007, 13:04 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@dominik21 Sei etwas vorsichtiger mit deinen leichtfertigen Divisionen, solange du nicht sicher bist, dass der Divisor ungleich Null ist ...
Setz bei der Aufgabe doch einfach mal x=y=0 ein - da siehst du schnell, dass entweder f(0) oder g(0) gleich Null sein muss. Beide Fälle führen rasch zum Widerspruch. |
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| 14.12.2007, 13:27 | dominik21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
k dann hab ich f(0) * g(0) = 0 daraus folgere ich das f(0) oder g(0) mindestens einer = 0 sein müssen. nun setze ich x = 2 und y = 0 f(2) * g(0) = 0 + 2 ist ein wiederspruch da 0 ungleich 2 richtig ? |
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| 14.12.2007, 13:29 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist der Widerspruch für den Fall g(0)=0, richtig. Der andere Fall f(0)=0 läuft natürlich völlig analog, aber sauber aufschreiben muss man es trotzdem.
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| 14.12.2007, 13:34 | dominik21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja klar schreib ich das noch sauber auf
. aber eins versteh ich nicht. wenn beide = 0 sind dann ist die aussage doch richtig ? kann doch den fall das f(0) = 0 und g(0) = 0 ist nicht ausschließen ? |
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| 14.12.2007, 13:38 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie willst du den ausschließen, dass weder f(0)=0 noch g(0)=0 gilt, wo du doch gerade nachgewiesen hast, dass eins von beiden gelten muss??? Also erstmal nachdenken vor dem Posten... |
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| 14.12.2007, 13:40 | dominik21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
was ich meine ist, man kann ja nicht ausschließen das beide genau 0 sind. |
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| 14.12.2007, 13:42 | dominik21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hey okay okay
nehm alles zurück 
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| 14.12.2007, 13:42 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na und - stört das, wenn beide gleich Null sind? Es hat doch keiner was von einer disjunkten Fallunterscheidung gesagt. |
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