Untergruppen der symmetrischen Gruppen

14.12.2007, 14:26

Iljana

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Untergruppen der symmetrischen Gruppen

Hallo,

ich habe eine Aufgabe zu bewältigen. Und zwar soll ich eine konmutative Untergruppe der Ordnung 24 der symmetrischen Gruppe S9 finden.

Nun habe ich aber Probleme schon allein mit den Untergruppen. Wie finde ich die heraus?

Danke für eine Antwort

14.12.2007, 14:34

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Ein symbolischer Tipp: $\begin{eqnarray*} 1 2 \bigm| 3 4 \bigm| 5 6 \bigm| 7 8 9 \end{eqnarray*}$

14.12.2007, 17:43

Iljana

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Mein Problem ist ganz einfach, dass ich nicht weiß, wann ein Produkt zweier Zykeln in der Untergruppe ist und wann nicht.

Und den Tip habe ich auch nicht verstanden.

verwirrt

verwirrt

Gibt es mehr Hilfe? Wäre super.

14.12.2007, 17:58

AD

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Ich kann's ja auch etwas ausführlicher schreiben:

$\begin{eqnarray*} S_2(\{1,2\}) \oplus S_2(\{3,4\}) \oplus S_2(\{5,6\}) \oplus A_3(\{7,8,9\}) \end{eqnarray*}$

14.12.2007, 18:13

Iljana

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mmmhhhh, also: ich sehe da nur Zykeln. Aber wie finde ich denn die Untergruppen?

Und kannst Du mir erklären, wann das Produkt zweier Zykeln in der Untergruppe liegt?

Thanx

14.12.2007, 18:22

AD

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Zitat:

Original von Iljana
mmmhhhh, also: ich sehe da nur Zykeln. Aber wie finde ich denn die Untergruppen?

Das ist die Untergruppe, geschrieben als direkte Summe von kommutativen $\begin{eqnarray*} S_9 \end{eqnarray*}$ -Untergruppen.

Zitat:

Original von Iljana
Und kannst Du mir erklären, wann das Produkt zweier Zykeln in der Untergruppe liegt?

Nein - zuviel Alkohol bei der nachmittäglichen Weihnachtsfeier, das würde nicht gutgehen, es reicht gerade noch für solche Tipps wie oben. Prost

Prost

Da muss ein anderer übernehmen (therisen?). Augenzwinkern

Augenzwinkern

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14.12.2007, 18:57

Leopold

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Um Arthurs Vorschlag einmal anders aufzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} U = \left\{ \left. (12)^i (34)^j (45)^k (789)^l \, \right| \, i,j,k \in \{0,1\} , \, l \in \{0,1,2\} \right\} \end{eqnarray*}$

Weise die Untergruppeneigenschaft nach und zähle die verschiedenen Elemente. Beachte, daß die Zerlegung einer Permutation in disjunkte Zykeln bis auf die Reihenfolge der Zykeln eindeutig ist und daß disjunkte Zykeln miteinander kommutieren.

14.12.2007, 19:44

Iljana

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Ich bin ein bisschen mit der Schreibweise aufgeschmissen.

Kannst Du mir die Untergruppeneigenschaft nochmal erklären, die du definiert hast?

Ich steh auf dem Schlauch!

14.12.2007, 21:28

Iljana

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[quote]Original von Leopold

$\begin{eqnarray*} U = \left\{ \left. (12)^i (34)^j (45)^k (789)^l \, \right| \, i,j,k \in \{0,1\} , \, l \in \{0,1,2\} \right\} \end{eqnarray*}$

So. jetzt weiß ich gar nicht, was Du mit den Untergruppen meinst. Was ist zum Beispiel die erste von Dir aufgestellte Untergruppe?

Danke für eine Antwort!

14.12.2007, 21:35

kiste

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Zitat:

Original von Iljana
So. jetzt weiß ich gar nicht, was z.B. mit der Untergruppe $\begin{eqnarray*} (12)^i \end{eqnarray*}$ gemeint ist. Wie sieht die aus. Brauche nochmal einen Tipp. Bitte, bitte.

Das ist das Erzeugnis von (12). Also $\begin{eqnarray*} <(12)> = \{(12), id\} \end{eqnarray*}$

Dementsprechend ist das gesamte das Erzeugnis von was?

14.12.2007, 21:41

Iljana

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Das mit dem Erzeuger war mir fast, fast, fast klar. Aber ich komme einfach nicht auf eine Untergruppe mit 24 Elementen.

Und außerdem: Die Erzeuger (3,4) und (5,6), was haben die mit S2 zu tun?

14.12.2007, 22:43

Leopold

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Weißt du, was ein Zykel ist?
Weißt du, was in der symmetrischen Gruppe die Gruppen"multiplikation" ist?
Kannst du diese Multiplikation konkret ausführen?

Und wenn dir dann nichts Besseres einfällt, dann schreibe halt alle Elemente von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ hin (siehe meinen vorigen Beitrag) - unter uns gesagt: es sind gerade 24 Stück - und erstelle eine Gruppentafel mit 24·24=576 Einträgen. Wenn dein Blatt dafür nicht ausreicht, kannst du ja auf den Boden deiner Studentenbude schreiben. So wirst du die Abgeschlossenheit schon feststellen.

Als Alternative kannst du natürlich auch deinen Grips einmal ein bißchen in Gang setzen. Dann fällt dir vielleicht ein theoretisches Argument für die Abgeschlossenheit ein. Ist etwas mühsamer für den Kopf, schont aber den Bodenbelag deiner Studentenbude.

14.12.2007, 22:51

Lazarus

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Wenn du die ersten drei Fragen von Leopold mit einem klaren "Ja!" beantworten kannst, dann (und wohl wirklich erst dann!) hilft dir dieses Applet weiter:

http://mfb.informatik.uni-tuebingen.de/min/minApplets/symGroups.html]Link[/URL]

15.12.2007, 13:16

Iljana

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Naja, wenn der Link mal funktionieren würde...

Wie auch immer: Eigentlich konnte ich schon alle Fragen mit "Ja" beantworten. Dennoch bin ich nicht schlauer. Ich bräuchte mal jemanden, der mir das erklärt, ohne sich darüber lustig zu machen. Hab ne Aufgabe abzugeben. Und würd das echt gern verstehen!

15.12.2007, 13:23

Lazarus

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Hier der Link: http://mfb.informatik.uni-tuebingen.de/i.../symGroups.html

Ich weiss nicht wer sich über dich lustig macht, wir versuchen alle zu helfen! verwirrt

verwirrt

15.12.2007, 13:40

Iljana

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Ich hab nen Mac, das Applet funktioniert nicht. So ein Mist.

Um meine Frage zu konkretisieren. Was meint Ihr mit S2 = (5,6) ?
Muss ich alle Untergruppen mit allen anderen nochmal multiplizieren? Und wenn ja: Warum?

15.12.2007, 13:42

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@Iljana

Ich weiß nicht, warum du das studierst - geht mich auch nichts an - aber offensichtlich fällt dir hier alles extrem schwer. Also solltest du entweder aufgeben, oder aber dich mal richtig dahinterklemmen. Du befolgst z.B. nicht die Tipps, die dir gegeben werden, sondern rufst nach immer neuen Leuten, die dir das erklären sollen - die gehen hier langsam aus. Außerdem solltest du nicht ständig Arg und Böses bei anderen vermuten, die dir nur helfen wollen - mich z.B. schrecken solche Vorwürfe massiv von weiterer Hilfe ab. Aber noch ist es nicht soweit.

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} U = \left\{ \left. (12)^i (34)^j (56)^k (789)^l \, \right| \, i,j,k \in \{0,1\} , \, l \in \{0,1,2\} \right\} \end{eqnarray*}$

[...]

Und wenn dir dann nichts Besseres einfällt, dann schreibe halt alle Elemente von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ hin

Ich nehm dir diesen Schritt mal ab - hier sind alle 24 Elemente von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ in Zykelschreibweise:

id
(789)
(798)
(56)
(56)(789)
(56)(798)
(34)
(34)(789)
(34)(798)
(34)(56)
(34)(56)(789)
(34)(56)(798)
(12)
(12)(789)
(12)(798)
(12)(56)
(12)(56)(789)
(12)(56)(798)
(12)(34)
(12)(34)(789)
(12)(34)(798)
(12)(34)(56)
(12)(34)(56)(789)
(12)(34)(56)(798)

15.12.2007, 13:55

kiste

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Du befolgst z.B. nicht die Tipps, die dir gegeben werden, sondern rufst nach immer neuen Leuten, die dir das erklären sollen - die gehen hier langsam aus.

Wurde offensichtlich von ihr auch erkannt, s. hier

15.12.2007, 14:00

Iljana

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Also, ich werde darauf jetzt mal nicht reagieren, weil ich einfach der Meinung bin, dass das wirklich niemanden was angeht, warum ich was studiere. Danke für die Hilfe.

Und soweit wie Du war ich übrigens auch schon. Nur, dass ich dreimal ein und die selbe Frage gepostet habe - und darüber völlig weggesehen wird.

15.12.2007, 14:02

Iljana

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So, da ihr ja offensichtlich nichts besseres zu tun habt, als euch darüber auszulassen, wie ich wann und wo poste, dann sucht doch einfach nochmal ein bisschen weiter. ihr werdet fündig. ganz sicher.

Und nicht vergessen: Ihr müsst das alles verlinken!

15.12.2007, 14:09

AD

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Zitat:

Original von Iljana
Und soweit wie Du war ich übrigens auch schon.

Davon war hier nichts zu spüren. Aber ich wünsch dir viel Erfolg im Matheplanet oder sonstwo. Wink

Wink

15.12.2007, 15:03

Leopold

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@ Iljana

Jetzt bist du eingeschnappt. Dabei darfst du sicher davon ausgehen, daß dir hier keiner etwas Böses will.

Stell dir einmal jemanden vor, der die Substitutionsregel für Integrale erklärt bekommen möchte. Beim Versuch, das zu erklären, stellt man dann fest, daß der Betreffende das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^4 x^2~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ nicht berechnen kann. Weder verbindet er mit dem Integralbegriff eine anschauliche Vorstellung noch kennt er sich mit dem Kalkül (Stammfunktionen etc.) aus. Dann ist es doch nur richtig, wenn man ihm sagt: Kümmere dich erst einmal um die Grundlagen, dann komm wieder und frage, wie das mit der Substitutionsregel ist.

Hier war es so, daß dir Arthur zuerst einen verrätselten Hinweis gegeben hat. Als du diesen nicht verstandest, hat er dir die Lösung in der Form eines gruppentheoretischen Konstrukts (direkte Summe) mitgeteilt. Damit konntest du auch nichts anfangen. Dann habe ich dir die gesuchte Untergruppe konkret angegeben (sozusagen als inneres direktes Produkt). Aber du hast nicht einmal gemerkt, daß das eigentlich schon die Lösung war. Du hättest nur noch die Abgeschlossenheit bezüglich der Gruppenmultiplikation überprüfen müssen. Dazu, wie das geht, habe ich dir in meinem Beitrag sogar Hinweise gegeben.

Das hast du alles nicht verstanden. Stattdessen stellst du Fragen, die wiederum wir nicht verstehen. Deine Fragen deuten nämlich darauf hin, daß du gar nicht begriffen hast, was die symmetrische Gruppe ist und wie man in ihr rechnet. Und um das Letztere solltest du dich zunächst kümmern. Auch wenn das jetzt etwas frustrierend ist, daß du die vorliegende Aufgabe nicht lösen kannst, führt für dich kein Weg daran vorbei, dich mit den Grundlagen zu beschäftigen.

Im übrigen zeugt dein Verhalten auch von Undankbarkeit. Mag es für Arthur auch keine große intellektuelle Leistung gewesen sein, dir sämtliche Elemente von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ hinzuschreiben, so war es doch immerhin eine nicht zu verachtende Schreib- und Konzentrationsarbeit.

Wenn du noch Interesse hast, dann kannst du ja einmal versuchen, als Beispiel das Produkt des fünften und dreiundzwanzigsten Elementes aus Arthurs Liste zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \pi = (56)(789), \ \rho = (12)(34)(56)(789) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi \rho = \text{???} \end{eqnarray*}$

Wenn du das nicht hinbekommst, dann gibt es genügend hier, die dir dabei helfen, die Grundbegriffe zu klären. Stell dann dazu konkret Fragen.

15.12.2007, 15:55

Iljana

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Ich hab mich schon wieder beruhigt.

Das Produkt ist (12) (34) (789).

Okay.

Meine konkreten Fragen:
S2=(3,4) kann doch kein Zykel der symmetrischen Gruppe S2 sein, da S2=(id, (12)). Oder war mit S2 lediglich die von (34) erzeugende Untergruppe gemeint?

Ausserdem:
Diese 24-elementige Unterguppe weist einige Permutationen mehrere Male auf. Geht das überhaupt? Ich habe in meinem Skript keine einzige Definition für Untergruppen einer symmetrischen Gruppe. Satz von Lagrange okay, habe ich verstanden. Aber wie konntet Ihr zum Beispiel in meinem Fall so schnell diese Untergruppe herausfinden?

Ich meine: Gibt es nicht noch mehrere Untergruppen, die konmutativ sind - und deren Vereinigung eine Untergruppe der Ordnung 24 bilden?

Ich wollte ja gar nicht undankbar sein, aber ich fühle mich schon ein wenig angegriffen, wenn mein Super-Hirn hier in Frage gestellt wird Big Laugh

Big Laugh

Nein, mal ehrlich: Ich hab nirgendwo eine anständige Definition für Untergruppen der Symmetrie-Gruppen gefunden. Das ist wohl mein eigentliches Problem.

15.12.2007, 16:01

Lazarus

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nicht ganz, (789) * (789) = (798).

Der Punkt ist das wir hier das Erzeugnis über diesen Elementen haben und somit nach Definition eine Untergruppe.

15.12.2007, 16:14

Iljana

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Hatte mich verschrieben. Aber das gleiche raus.

Hast Du denn mal eine Definition einer Untergruppe der Symmetrischen Gruppen?

15.12.2007, 16:17

kiste

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Es gibt keine spezielle Definition für die Symmetrische Gruppe.
Für eine Untergruppe U gilt:
$\begin{eqnarray*} id \in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ab^{-1} \in U ~\forall a,b \in U \end{eqnarray*}$

15.12.2007, 16:46

Iljana

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Also: nochmal eine präzise Frage:

In einer Untergruppe der Ordnung 24 sind ja nur Elemente der Ordnung erlaubt, die Teiler von der (Unter-)Gruppenordnung sind, d.h.: Die Elemente mit Ordnung 1,2,3,4,6,8,12,24

Okay. Woher weiß ich denn, dass es keine andere konmutative Untergruppe der Ordnung 24 gibt, die aus anderen Elementen der o.g. Ordnungen besteht? Muss ich das alles durchprobieren?

Ausserdem bleibt meine Frage bestehen, nämlich, warum (789) in A3 liegt. A3 dürfte doch nur aus den geraden Permutationen von S3 bestehen... verwirrt

verwirrt

15.12.2007, 20:50

Iljana

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so, ich hoffe, mir kann jemand folgende Frage beantworten.

Ich will das Übel jetzt mal auf Papier bringen. Und weiß nicht genau, wie ich beweisen kann, dass die bestimmte Untergruppe der Ordnung 24 die Vereinigung von den 4 Untergruppen ist.

Kann man das mit den Sätzen zu Gruppenhomomorphismen machen?

15.12.2007, 22:38

Leopold

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Die sechs Permutationen von $\begin{eqnarray*} 7,8,9 \end{eqnarray*}$ sind

$\begin{eqnarray*} () \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (78) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (79) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (89) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (789) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (798) \end{eqnarray*}$

Diese Permutationen bilden eine zu $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ isomorphe Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S_9 \end{eqnarray*}$ . Sie wird z.B. von $\begin{eqnarray*} (78) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (89) \end{eqnarray*}$ erzeugt.

$\begin{eqnarray*} () \end{eqnarray*}$ ist die Identität, also gerade (leeres Produkt von Transpositionen)
$\begin{eqnarray*} (789) = (78)(89) \end{eqnarray*}$ Produkt zweier Transpositionen, also gerade
$\begin{eqnarray*} (798) = (89)(78) \end{eqnarray*}$ Produkt zweier Transpositionen, also gerade

Also bilden $\begin{eqnarray*} (), (789), (798) \end{eqnarray*}$ eine zu $\begin{eqnarray*} A_3 \end{eqnarray*}$ isomorphe Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S_9 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \left\langle (789) \right\rangle \leq \left\langle (78),(89) \right\rangle \leq S_9 \end{eqnarray*}$

Es gibt natürlich noch andere kommutative Untergruppen der Ordnung 24 in $\begin{eqnarray*} S_9 \end{eqnarray*}$ . Wie wäre es mit der von den Elementen $\begin{eqnarray*} (25),(39),(16),(478) \end{eqnarray*}$ erzeugten Untergruppe?

15.12.2007, 22:51

Iljana

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Okay, aber ich habe in meiner Untergruppe doch gar nicht alle Permutationen von (789). Ausserdem frage ich mich, inwiefern ich das mit der Isomorphie belegen kann.

Heisst das, wenn eine konmutative Gruppe zu einer anderen isomorph ist, dass die andere Gruppe dann automatisch auch konmutativ ist?

15.12.2007, 22:52

Iljana

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Und DANKE DANKE DANKE.... sorry, habe ich fast vergessen

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