Fixpunkt einer monotonen Funktion

14.12.2007, 17:31	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunkt einer monotonen Funktion Seien $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb{R}, a<b \end{eqnarray}$ eine monoton wachsende Funktion (aber nicht notwendig stetige) Funktion. Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt im Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ besitzt, d.h. dass es ein $\begin{eqnarray} x_0 \in [a,b] \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} f(x_0)=x_0 \end{eqnarray}$ So ich denke dass ich dazu einen Beweis gefunden hab - mir gehts jetzt aber weniger um die Idee, als um anständige Argumentation. Wer also was findet reitet da bitte drauf rum! Beweis: Angenommen das ist nicht der Fall. Dann ist $\begin{eqnarray} f(a)>a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(b)<b \end{eqnarray}$ Dann definiere ich die Funktion $\begin{eqnarray} g(x):=f(x)-x \end{eqnarray}$ . Es ist also $\begin{eqnarray} g(a)>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(b)<0 \end{eqnarray}$ Da f beschränkt und monoton ist, exisitieren insbesondere für jedes $\begin{eqnarray} z \in (a,b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \nearrow z} f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x \searrow z} f(x) \end{eqnarray}$ Dann existieren aber auch die Grenzwerte für $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} g(a)>0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} g(b)<0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x)\neq 0 \end{eqnarray}$ muss es eine Unstetigkeitstelle $\begin{eqnarray} c \in (a,b) \end{eqnarray}$ geben mit $\begin{eqnarray} \lim_{x \nearrow c} g(x)=y^+>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \searrow c} g(x)=y^-<0 \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} y^+>y^- \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \nearrow c}g(x) >\lim_{x \searrow c}g(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \nearrow c}f(x)-c >\lim_{x \searrow c}f(x)-c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \nearrow c}f(x) >\lim_{x \searrow c}f(x) \end{eqnarray}$ im Widerspruch zur steigenden Monotonie.
14.12.2007, 18:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlt da nicht noch etwas, nämlich die Angabe des Bildbereichs? Sonst könnte man ja massenhaft Gegenbeispiele angeben.
14.12.2007, 18:14	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
arghh... sry $\begin{eqnarray} f[a,b]\to[a,b] \end{eqnarray}$
16.12.2007, 17:39	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ansonsten is es okay so? Also ich will ja auch keinen Roman schreiben... recht viel mehr als bisher sollte der Text nicht werden.
16.12.2007, 17:57	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe deinen Beweis mal überflogen und das sieht soweit gut aus. Mir ist nur aufgefallen, dass du zwar $\begin{eqnarray} f(a) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} f(b) \end{eqnarray}$ schreibst, aber eigentlich $\begin{eqnarray} f(a+) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(b-) \end{eqnarray}$ meinst (mit dieser Notation sieht der Beweis dann auch schöner aus, die vielen Limiten sind unschön). Gruß, therisen
16.12.2007, 19:01	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!
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