Messbare Funktion? Lösung verstehen

14.12.2007, 18:54

Messy

Messbare Funktion? Lösung verstehen

Ich habe eine Frage zu der Lösung von der Aufgabe hier

Sei X = X' = {0,1,2}

Sind die folgenden Funktion $\begin{eqnarray*} (X, \mathbb{A}) - (X', \mathbb{A}) \end{eqnarray*}$ messbar?

$\begin{eqnarray*} f_1(t) = t, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2 (t) = 0, \end{eqnarray*}$ wenn t=0
=1, wenn t=1,2

Wir haben dazu berechnet

$\begin{eqnarray*} \mathbb{A} = \sigma( \{ 0 \}) = \{ \emptyset, X , \{0 \}, \{ 1,2 \} \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb{A}' = \sigma(\{1\}) = \{ \emptyset, X , \{1 \} , \{ 0,2 \} \} \end{eqnarray*}$

Die eigentliche Lösung verstehe ich jetzt aber nicht mehr
$\begin{eqnarray*} f_1' (\{1\}) \in \mathbb{A} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{1\} \notin \mathbb{A} \end{eqnarray*}$
=> Nicht meßbar

$\begin{eqnarray*} f_2'(\{1\} \in \mathbb{A} \end{eqnarray*}$
=> f_2 ist messbar.

Was soll eigentlich f' bedeuten? Müsste das nicht eher $\begin{eqnarray*} f_1^{-1} \end{eqnarray*}$ heißen? Ist hier nicht immer das Urbild genannt?
Und wieso reicht es bei f_2 eine 1 einsetzen, obwohl es messbar ist. Fehlt da nicht noch der Test bezüglich der Null?
IRgendwie verstehe ich nicht, was genau $\begin{eqnarray*} f_1' (\{1\}) \end{eqnarray*}$ genau bedeuten könnte. Für $\begin{eqnarray*} f_2'(\{1\} \end{eqnarray*}$ weiß ich das auch nicht.

$\begin{eqnarray*} f_1(\{1\} = \{1\} \notin \mathbb{A} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_1(\{0\} = \{0\} \notin \mathbb{A} \end{eqnarray*}$

Aber was ist denn mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{A}' \end{eqnarray*}$
Warum gucken wir denn nicht auch darein? Zumindest bei der messbaren Funktion $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ ist das doch sinnvoll?

Die Musterlösung ist mir zu kurz und irgendwie glaube ich auch, dass einige Striche falsch sind. Also $\begin{eqnarray*} f'_1 \end{eqnarray*}$ z.b.

Hilfe traurig

15.12.2007, 14:51

Abakus

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RE: Messbare Funktion? Lösung verstehen
Anstatt dich über diese Musterlösung zu ärgern, schlage ich dir vor, eine eigene Lösung zu entwickeln (wenn da Schreibfehler drin sind, Begründungen an relevanter Stelle fehlen, Bezeichnungen nicht definiert sind... ist die ML höchstens ein Kandidat für die Gelbe Zitrone geschockt

).

Hier musst du einfach jeweils 4 Urbilder ausgucken und nachschauen, ob die Mengen in der jeweiligen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra drin sind oder nicht. Komplizierte Überlegungen erübrigen sich da.

Grüße Abakus smile

15.12.2007, 14:58

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Zitat:

Original von Messy
Wir haben dazu berechnet

$\begin{eqnarray*} \mathbb{A} = \sigma( \{ 0 \}) = \{ \emptyset, X , \{0 \}, \{ 1,2 \} \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb{A}' = \sigma(\{1\}) = \{ \emptyset, X , \{1 \} , \{ 0,2 \} \} \end{eqnarray*}$

Mit "berechnet" meinst du: vorher berechnet?

Denn für die Frage "Meßbarkeit der Funktionen ja/nein" müssen die Sigma-Algebren ja schon bekannt sein!

Also bitte bei Teilfragen, die aus größeren Fragestellungen herausgelöst werden, dieses Herauslösen "ordentlich" machen, sonst führen solche Formulierungen wie obiges "berechnet" zu unnötigen Irritationen.

15.12.2007, 16:22

Messy

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Zitat:

Mit "berechnet" meinst du: vorher berechnet?

Die Teilaufgabe vorher hieß: Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} \mathbb{A}=\sigma(\{0\}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma(\{1\}) = \mathbb{A}' \end{eqnarray*}$

Zitat:

Hier musst du einfach jeweils 4 Urbilder ausgucken und nachschauen, ob die Mengen in der jeweiligen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra drin sind oder nicht. Komplizierte Überlegungen erübrigen sich da.

Also berechne ich erst einmal

$\begin{eqnarray*} f_1(\{0\}) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_1(\{1\}) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(\{0\}) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(\{1\}) = {1,2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt gucke ich, ob $\begin{eqnarray*} f_1 \in \mathbb{A} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f_2 \in \mathbb{A} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_1(\{1\}) = 1 \notin \mathbb{A} \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ nicht messbar

$\begin{eqnarray*} f_2(\{0\}) = 0 \notin \mathbb{A}' \end{eqnarray*}$

und schon hätte ich hier einen Widerspruch hergeleitet, was ja nach Musterlösung nicht stimmt.

Was setze ich falsch ein und was sollte herauskommen?

22.12.2007, 20:31

Messy

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Die Frage ist noch aktuell und für mich noch nicht zu 100% beantwortet. Nochmals die bitte, dass mir jemand hilft

23.12.2007, 10:21

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RE: Messbare Funktion? Lösung verstehen
Das Problem ist, dass hier viele mathematisch inkorrekte Schreibweisen vorliegen. Wenn die Abbildung wirklich von $\begin{eqnarray*} (X, \mathbb{A}) - (X', \mathbb{A}) \end{eqnarray*}$ geht, dann ist $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ nicht messbar. Denn es gilt:

$\begin{eqnarray*} f_1^{-1}(\{1\})=\{1\} \end{eqnarray*}$ . Aber das ist nicht Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ ist bzgl $\begin{eqnarray*} \mathbb A \end{eqnarray*}$ messbar, denn es gilt:

$\begin{eqnarray*} f_2^{-1}(\{0\})=\{0\}\in \mathbb A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2^{-1}(\{1\})=\{1,2\}\in \mathbb A \end{eqnarray*}$

Die Frage ist natürlich, für was man $\begin{eqnarray*} \mathbb A' \end{eqnarray*}$ hier braucht.

Vielleicht soll man die selbe Aufgabe dann mit $\begin{eqnarray*} \mathbb A' \end{eqnarray*}$ statt mit $\begin{eqnarray*} \mathbb A \end{eqnarray*}$ machen?

23.12.2007, 21:09

Messy

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Das sieht ja gut aus, danke

Zitat:

Vielleicht soll man die selbe Aufgabe dann mit $\begin{eqnarray*} \mathbb A' \end{eqnarray*}$ statt mit $\begin{eqnarray*} \mathbb A \end{eqnarray*}$ machen?

An der Tafel kann es schon sein, dass man so ein Strich übersieht.

Zitat:

Die Frage ist natürlich, für was man $\begin{eqnarray*} \mathbb A' \end{eqnarray*}$ hier braucht.

Was meinst du hiermit?

Ich hatte ja argumentiert, dass

$\begin{eqnarray*} f_2(\{0\}) = 0 \notin \mathbb{A}' \end{eqnarray*}$
und somit ist das nicht Messbar.
Wenn jetzt wirklich die Frage war, ob f $\begin{eqnarray*} (X, \mathbb{A}) - (X', \mathbb{A}') \end{eqnarray*}$ messbar ist, wo liegt dann mein Fehler? Oder stimmt dann doch meine Rechnung und ich habe nur eine verkehrte Aufgabenstellung?

Grüße Messy

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