Grenzwertkriterium Wurzel

14.12.2007, 20:48

Grenzwertkriterium Wurzel

Hallo,

welches Grenzwertkriterium wende ich an für
$\begin{eqnarray*} \sum_{n\geq0}^\infty~(\sqrt{n^2 + n}-n) \end{eqnarray*}$ .

Das Quotientenkriterium wird ja nicht greifen, da 1 herauskommt.

14.12.2007, 20:56

Lazarus

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Wieder keine Nullfolge ...
Wer stellt denn solche Aufgaben ?!

14.12.2007, 21:07

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Ich beschäftige mich damit schon seit zwei Tagen.

Insgesamt hab ich 10 solcher Reihen.

-Davon konnte ich 5 bisher eindeutig lösen.
-3 ergaben als Grenzwert 1
- auf die 2 verbliebenen konnte ich kein kriterium anwenden

14.12.2007, 21:08

Lazarus

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Naja und was sagt dir die Tatsache, das es sich nicht um ne Nullfolge handelt ?

14.12.2007, 21:09

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Zitat:

Original von Lazarus
Wer stellt denn solche Aufgaben ?!

Der "Erfolg" (?!) gibt dem Aufgabensteller Recht - damit das notwendige nicht aus den Augen verloren wird. Augenzwinkern

14.12.2007, 22:11

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Wenn die Reihe konvergieren würde, würde/n die Folge/n gegen 0 konvergieren. Es ist aber S_n=(0,0.41,0.44+...+0.5).

Die Glieder der Folge konvergieren gegen 0.5, Die Reihe wird unendlich groß, da das (n+1)te Folgeglied 0,5 ist.

14.12.2007, 22:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von sg
Es ist aber S_n=(0,0.41,0.44+...+0.5).

Hää? Was soll mir das sagen? verwirrt

Zitat:

Original von sg
Die Reihe wird unendlich groß, da das (n+1)te Folgeglied 0,5 ist.

Das mit der Reihe stimmt, die Begründung ist aber Unfug. Kein einziges Folgenglied ist 0,5.

14.12.2007, 22:48

Lazarus

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Lazarus
Wer stellt denn solche Aufgaben ?!

Der "Erfolg" (?!) gibt dem Aufgabensteller Recht - damit das notwendige nicht aus den Augen verloren wird. Augenzwinkern

Ja aber sie sind langweilig! Wo ist der Reiz ?!

14.12.2007, 22:49

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Na klar sind sie langweilig. Aber ganz offenbar muss man sie ab und zu einstreuen - natürlich nicht übertreiben. Big Laugh

14.12.2007, 23:45

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Welchen Ansatz muss ich denn zur Lösung der Aufgabe verfolgen?

Zum grundsätzlichen Verständnis (bitte sagen, falls ich im Prinzip falsch denke):

Die Reihe ist eine Folge, dessen n-tes Glied ich als Summe einer anderen Folge (=Partialsumme) mit den Gliedern a_0 - a_n schreiben kann.

Nehme ich also an, dass sich die genannte Reihe aus den n Partialsummen mit
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~\sqrt{n^2 +n}-n \end{eqnarray*}$ zusammensetzt.

Setzte ich mal einfach ein:

i a_i
----------------------------------
1 0,414213562
2 0,449489743
3 0,464101615
4 0,472135955
5 0,477225575
6 0,480740698
7 0,483314774
8 0,485281374
9 0,486832981
10 0,488088482
10E+9 0,50
...
n a_n

Es ist zu vermuten, dass diese Folge kein größeres Glied als 0,5 liefert, also konvergiert die Folge gegen 0,5.

Um wieder auf die Reihe zurück zu kommen.
Diese ist wie gesagt die Summe aller Partialsummen, z.B.
$\begin{eqnarray*} S=\sum_{i=0}^n~\sqrt{i^2 +i}-i=s_0+s_1+s_2+...+s_n=\sum_{i=0}^0~\sqrt{i^2 +i}-i+\sum_{i=1}^10~\sqrt{i^2 +i}-i + \sum_{i=11}^19~\sqrt{i^2 +i}-i + \sum_{i=k}^n~\sqrt{i^2 +i}-i \end{eqnarray*}$

Da jede Folge fast konstant Glieder mit 0,5 liefert, kann die Summe aller Partialsummen unendlich groß werden.

Gegenbeispiel:

Die Folge 1/n (Nullfolge) ergibt:

http://wohnen-gladen.de/reihe.jpg

Es ist zu erkennen, dass Partialsummen mit höherem Index immer kleiner werden.
Da die Reihe die Summe aller Partialsummen ist, kann sie nicht unendlich wachsen. Es existiert ein Grenzwert für die Reihe.

Fazit:

Fall 1: Die Reihe ist divergent, sie wächst unbeschränkt. das die Partialsummen immer größer werden bzw. die Elemente der Partialsummen sich einem Granzwert annähern. Es existiert ein Grenzwert für den Betrag eines Folgegliedes, die Folge an sich ist in der Anzahl ihrer Glieder und somit in ihrem Wert jedoch nicht beschränkt.

Fall 2: Die Reihe ist konvergent, wie ist beschränkt. Die Partialsummen werden immer kleiner, sodass vereinfacht gesagt z.b. gilt: S=s_1+s_2+...+s_n=1+0,5+0,2+0,1+0+0+0...=1,8.
In dieser erfundenen, fallenden Reihe, wäre der Grenzwert 1,8.

Die Reihe wird nicht weiter wachsen, da alle folgenden Partialsummen =0 sind.

=> Eine Reihe ist konvergent, wenn ihre Partialsummen immer kleiner werden, d.h. gegen 0 streben.
Sie ist divergent, wenn sie unbeschränkt wächst, d.h. ihre Partialsummen immer größer werden bzw. die Folgeglieder unendlich groß werden oder zumindest stagnieren.

Bitte sagt mir nicht, dass ich alle Regeln der (mathematischen) Kunst gebrochen habe und meine Ausdrucksweise unkorrekt ist.
Es geht mir nur darum, ob ich das Prinzip von Reihen und Folgen verstanden habe.

15.12.2007, 13:40

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Könnte mir denn jemand sagen, welches Kriterium ich für die Reihe anwende?

15.12.2007, 13:54

tmo

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Zitat:

Eine Reihe ist konvergent, wenn ihre Partialsummen immer kleiner werden, d.h. gegen 0 streben.

das stimmt nicht. Ein Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe.

Wenn dann, kann es so lauten:
Ist eine Reihe konvergent, so ist die Folge, der sie unterliegt, eine Nullfolge.

in diesem fall ist

$\begin{eqnarray*} a_n := \sqrt{n^2+n}-n \end{eqnarray*}$ keine nullfolge, sondern sie konvergiert gegen 0.5, wie du schon vermutet hast.
das kannst du zeigen, indem du mal mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+n}+n \end{eqnarray*}$ erweiterst und danach ein bisschen umformst und die grenzwertsätze anwendest.

15.12.2007, 13:58

Lazarus

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Ich verstehe dich nicht. Ich habe es probiert aber ich verstehe es nicht.

Du fängst an mit "unserer" Reihe, zu der wir nun schon alle unseren Senf gegeben haben. Allerdings nochmal in aller Deutlichkeit: Wenn eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n\in\mathbb N} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert ist die zugrunde liegende Folge $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge. Daraus folgt: Gilt das nicht kann die Reihe nicht konvergieren. (Trivialkriterium)

Das ist hier anzuwenden. Nichts weiter.

Dann wechselst du plötztlich auf die Harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{1\leqslant n}\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und sagst diese würde konvergieren. Das tut sie nicht! Sie divergiert. Damit kann man sehen: Die Umkehrung des obigen Satzes gilt nicht!

Was du dann mit der Fallunterscheidung bezwecken willst ist für mich ein Rätsel.

15.12.2007, 14:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von sg
Um wieder auf die Reihe zurück zu kommen.
Diese ist wie gesagt die Summe aller Partialsummen, z.B.
$\begin{eqnarray*} S=\sum_{i=0}^n~\sqrt{i^2 +i}-i=s_0+s_1+s_2+...+s_n=\sum_{i=0}^0~\sqrt{i^2 +i}-i+\sum_{i=1}^10~\sqrt{i^2 +i}-i + \sum_{i=11}^19~\sqrt{i^2 +i}-i + \sum_{i=k}^n~\sqrt{i^2 +i}-i \end{eqnarray*}$

Was ist denn das für ein Unfug? verwirrt

Was sollen denn da die s_0, ..., s_n sein? Offensichtlich hast du den Begriff der Partialsumme nicht verstanden. Um wenigstens das mal zu klären:

Ist (a_n) eine Folge, dann wird mit $\begin{eqnarray*} s_n := \sum_{k=1}^n~a_k \end{eqnarray*}$ eine Folge von Partialsummen definiert. Diese Folge (man nennt sie auch Reihe) kann konvergieren oder eben auch nicht. Nötig für die Konvergenz (aber nicht hinreichend) ist, daß die Folge (a_n) gegen Null konvergiert.

15.12.2007, 16:51

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Umgeformt erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt{1+ \frac{1}{n^2} }+1} \end{eqnarray*}$ .

Der Grenzwert ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \sqrt{1+ \frac{1}{n^2} }+1} = \frac{1}{\sqrt{1} +1 } = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Nur mit welchem Kriterium zeige ich, dass die Reihe divergiert?

15.12.2007, 16:54

tmo

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wie oft müssen wir eigentlich noch schreiben, dass bei JEDER konvergenten reihe $\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$ die folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine nullfolge ist? unglücklich

15.12.2007, 17:12

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Es steht schwarz aus weiß in mehreren Lehrbüchern, dass der Umkehrschlluss nicht zulässig ist!

Ich kann also nicht behaupten meine Reihe sei divergent, da die Folge keine Nullfolge ist. Ihr habt selbst das Beispiel der harmonischen Reihe gebracht.

Wie weise ich die Divergenz konkret nach?

15.12.2007, 17:16

kiste

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Du hast offensichtlich einen logischen Denkfehler.
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A) \end{eqnarray*}$
A ist hier "Die Reihe konvergiert"
B ist "die zugehörige Folge ist eine Nullfolge"

D.h. wenn es keine Nullfolge ist folgt daraus das die Reihe divergent ist!

15.12.2007, 17:17

tmo

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$\begin{eqnarray*} (A \Longrightarrow B) \Longleftrightarrow (\neg B \Longrightarrow \neg A) \end{eqnarray*}$

denk da mal drüber nach und wende es auf dein problem an...

edit: och man zu langsam, nur weil ich noch raussuchen musste, wie das Negationszeichen in Latex geht Big Laugh

15.12.2007, 19:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von sg
Wie weise ich die Divergenz konkret nach?

Dann will ich noch der Dritte im Bunde sein. Augenzwinkern

@sg: Wenn die Reihe konvergent wäre, dann müsste die Folge (a_n) eine Nullfolge sein. Da dieses aber nicht der Fall ist, kann die Reihe nicht konvergent sein. Mithin ist sie also divergent.

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