Gruppe abelsch (mit Sylowsätzen)?

14.12.2007, 21:14	Juli	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe abelsch (mit Sylowsätzen)? Hi, wir hatten früher mal eine Übungsaufgabe, und zwar sollten wir zeigen, dass eine Gruppe der Ordnung 15 abelsch ist. Das mussten wir damals ohne Sylowsätze machen. Jetzt haben wir die Sätze besprochen und ich wollte es nun mal mit den Sätzen versuchen: Also es ist $\begin{eqnarray} 15=3 \cdot 5 \end{eqnarray}$ . Und für die Anzahl $\begin{eqnarray} n_p \end{eqnarray}$ der p-Sylowgruppen gilt: $\begin{eqnarray} n_3 = 1 + k \cdot 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n_3 \| 5 \end{eqnarray}$ . Also gibt es genau eine 3-Sylowgruppe. Genauso bekommt man, dass es nur eine 5-Sylowgruppe gibt. Jetzt hätte ich zwei kurze Fragen: 1) Warum muss $\begin{eqnarray} n_3 \| 5 \end{eqnarray}$ gelten? Wir haben das im Skript so gemacht und ich habe es einfach nachgemacht. Aber man weiß ja erstmal nur $\begin{eqnarray} n_3 = [G:N_G(P)] \end{eqnarray}$ (für P p-Sylowgruppe) 2) Folgert man jetzt schon, dass G abelsch ist oder fehlt noch ein Argument? Wenn ja, welches? Folgt es aus $\begin{eqnarray} C_3 \times C_5 \cong C_{15} \end{eqnarray}$ ? Aber damit $\begin{eqnarray} G \cong C_{15} \end{eqnarray}$ müsste man ja wissen, dass $\begin{eqnarray} C_5,C_3 \end{eqnarray}$ normal in G sind und vor allem $\begin{eqnarray} G=C_3C_5 \end{eqnarray}$ ...
14.12.2007, 21:55	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, zu 1) Der Normalisator ist eine Untergruppe von G. Insbesondere ist deine p-Sylowgruppe eine Untergruppe des Normalisators. D.h. wenn gilt $\begin{eqnarray} \|G\| = p^n\cdot m \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} \|N_G(P)\| = p^n\cdot l \end{eqnarray}$ . Nach dem Satz von Lagrange teilt dies aber die Gruppenordnung. D.h. l teilt m. Dann ist $\begin{eqnarray} [G : N_G(P)] = \frac{m}{l} \mid m \end{eqnarray}$ Zu 2) Im weiteren bezeichne $\begin{eqnarray} S_p \end{eqnarray}$ eine p-Sylowgruppe von G. Ja ich hätte jetzt auch weiter gefolgert das G zyklisch sein muss. Das $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S_5 \end{eqnarray}$ normal in G sind folgt daraus das alle p-Sylowgruppen zueinander konjungiert sind. D.h. es gilt: $\begin{eqnarray} x^{-1}S_3x \in Syl_p(G) = \{S_3\} \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} x^{-1}S_3x = S_3 \end{eqnarray}$ und somit S3 normal. Das Argument funktioniert immer wenn du nur eine p-Sylowgruppe hast. Es lässt sich mit ziemlich geringen Aufwand zeigen das für G=pq mit p,q prim, p<q, p teilt nicht q-1 gilt das $\begin{eqnarray} G \cong C_{pq} \end{eqnarray}$ . Dazu zeigst du das $\begin{eqnarray} S_p \times S_q \cong G \end{eqnarray*}$ gilt in dem du einen kanonischen Isomorphismus angibst
16.12.2007, 14:33	Juli	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, vielen Dank! Habe alles verstanden. Nur eine Frage - wahrscheinlich ein Denkfehler von mir: Wenn ich nur eine p-Sylowgruppe habe, dann gilt wegen der Konjugiertheit doch nur, dass $\begin{eqnarray} x \in G \end{eqnarray}$ existieren mit $\begin{eqnarray} x^{-1}S_3 x = S_3 \end{eqnarray}$ , also für jedes Element $\begin{eqnarray} a \in S_3 \end{eqnarray}$ existiert ein x mit $\begin{eqnarray} a = x^{-1}bx, b \in S_3 \end{eqnarray}$ . Für Normalität müsste das ja für alle x gelten, oder? Warum ist das so?
17.12.2007, 00:09	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das ist nur ein Denkfehler, aber vllt. auch ein Fehler von mir da ich an Quantoren gespart habe. $\begin{eqnarray} \forall x\in G: x^{-1}S_3x \in Syl_3(G) \end{eqnarray}$ . D.h. für alle x ist das Konjungierte eine p-Sylowgruppe. Jetzt gibt es aber nur eine p-Sylowgruppe nämlich S_3. Somit ist $\begin{eqnarray} \forall x\in G: x^{-1}S_3x = S_3 \Rightarrow \forall x\in G: S_3x =xS_3 \end{eqnarray}$ und damit normal.
30.12.2007, 23:30	Juli	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry wenn ich das ältere Thema nochmal aufgreife, aber mir ist das doch nicht so ganz klar. Schlampig aufgeschrieben: Zwei Elemente $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ heißen dann konjugiert, wenn es ein $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} a=b^c \end{eqnarray}$ . Auf obiges angewandt bedeutet das doch: Wenn es genau eine p-Sylowgruppe $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ gibt, dann gibt es irgendwelche $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p_i = p_j^g, \quad p_i,p_j \in P \end{eqnarray}$ . Also ich verstehe nicht, woher das $\begin{eqnarray} \forall_{x \in G} \end{eqnarray}$ bei dir kommt? Es müsste doch heißen: "Für alle $\begin{eqnarray} p_i,p_j \in P \end{eqnarray}$ gibt es ein $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p_i = p_j^g \end{eqnarray}$ " und nicht "für alle $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ gibt es $\begin{eqnarray} p_i,p_j \in P \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p_i = p_j^g \end{eqnarray}$ ", oder nicht?
30.12.2007, 23:50	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist dir den bekannt dass das Konjungierte einer p-Sylowgruppe wieder eine p-Sylowgruppe ist? Genau das ist meine erste Aussage, und daher kommt auch das für alle.
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