Lösung trigonometrischer Gleichung

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15.12.2007, 01:07	Elisabethen	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung trigonometrischer Gleichung Haaallooo ! Kann mir einer verraten, wie ich hier weiter komme (oder ob ich hier überhaupt weiterkomme): $\begin{eqnarray} \frac{1}{4}\cdot \pi + \frac{0,66}{\pi}\cdot a - a^2+ \frac{2a}{\pi}\cdot \cos(\frac{a}{2}\cdot x ) =1 \end{eqnarray}$ Ich sags mal so : Es sieht komisch aus, aber ich habe das Gefühl da ist was lösbar Nur auf den Weg komme ich garnicht ...
15.12.2007, 01:26	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann da nur mit einem Jein antworten. Lösen könnte man es, aber rausbekommen würde man nichts. Der Grund ist leicht einsichtig, die Gleichung ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} \cos\left(\frac{ax}{2}\right)=\frac{12a^2\pi-8a+12\pi-3\pi^2}{24a} \end{eqnarray}$ Man kann sich leicht davon überzeugen, dass $\begin{eqnarray} \left\|\frac{12a^2\pi-8a+12\pi-3\pi^2}{24a}\right\|>1 \end{eqnarray}$ gilt, weswegen keine Lösung in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ möglich ist. Wie kommst du denn auf diese Gleichung (soll heissen, gibts ne Aufgabe dazu ?) lg
15.12.2007, 01:53	Elisabethen	Auf diesen Beitrag antworten »
ach mist ... dann habe ich wohl etwas falsch gemacht ! Die Aufgabe selbst ist schwer zu beschreiben. Kurzfassung : Man soll den Funktionsterm von $\begin{eqnarray} f(x)=asin(bx) \end{eqnarray}$ bestimmen.Vorgegeben habe ich eine Skizze, aus der ich ablesen kann, dass die Periode $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ist, also b= $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ . Diese Funktion schließt mit $\begin{eqnarray} g(x)=a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_{2}=\frac{a}{2} \end{eqnarray}$ eine Fläche von A=1 ein. -Mir ist schon ein Fehler aufgefallen. Und zwar bei dem b. b ist nämlich nicht $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} \frac{2 \pi}{b}=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ (weil das ja für die Periodenlänge so definiert ist), was also bedeutet das b=4 ist Die Frage ist jetzt, ob das für die Aufgabe selbst einen so großen Unterschied macht ... Ich glaube nämlich mein Grundgedanke ist falsch - Ihr müsst verstanden, dass ich die Informationen aus dem 1.Absatz selbst aus der Skizze "herausgefiltert" habe, ich sehe da aber keinen Fehler, also halte ich mich mal nicht daran auf. Dann hab ich mir Gedacht, dass A=1 eine Differenz von zwei Integralen ist, und zwar einmal von der Differenzfunktion von g(x)-f(x) und von g2(x)-f(x). - also habe ich noch einen Fehler erkannt! Ich habe nämlich in meiner ersten Gleichung geschrieben, dass A=1 das Integral von g(x)-f(x) ist, da fehlt aber noch der Subtrahend. - Gut, zwei Fehler nur durch das Postschreiben erkannt. Das ist doch schonmal etwas gutes! Jedenfalls müsste die komplette Errechnung des Flächeninhalts lauten: $\begin{eqnarray} A= \int~g(x)-f(x) ~dx - \int~g_{2}(x) -f(x) \end{eqnarray*}$ Ich hoffe jemand kann mir meinen Gedankengang folgen, den ich wüsste jetzt gerne, ob mein Grundgedanke falsch ist Ich probiers morgen früh nochmal aus, denn ich bin jetzt etwas zu müde um weiter zu machen. Über Tipps würd ich mich trotzdem noch freuen!
15.12.2007, 10:23	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal schauen ob ich dich richtig verstehe. die Aufgabe lautet "Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} a, b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ in der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=a\cdot \sin(bx) \end{eqnarray}$ sodass die Periode von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit den beiden Geraden $\begin{eqnarray} g_1=a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_2=\frac{a}{2} \end{eqnarray}$ innerhalb der ersten Periode einen Flächeninhalt von $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ einschliesst." (War das schwer zu beschreiben ? Es kommen alle wichtigen Sachen vor: Angabe aller Funktionen, Definitionsbereiche aller Variablen, alle Fragestellungen .... Sind sie denn so wie ich sie geschrieben hab korrekt?) Also dann b: Wenn die Periode richtig bestimmt ist, dann ist $\begin{eqnarray} b=4 \end{eqnarray}$ richtig. Nun zum nächsten Aufgabenteil. Bist du dir sicher das $\begin{eqnarray} g_1=a \end{eqnarray}$ sein soll ? Dann wäre diese Forderung nämlich überflüssig und könnte weggelassen werden. Bitte schau nochmal nach!
15.12.2007, 10:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat der noch zu bestimmende Parameter $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ aus dem Ansatz für $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ etwas zu tun mit dem $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , das in den Funktionen mit dem Bezeichner $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ vorkommt? Ich vermute hier eher eine Bezeichnerkollision. WUFF!
15.12.2007, 12:04	Elisabethen	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für das Interesse mir zu helfen ! Ich dachte mir einfach ich setze mal eine Skizze rein ... und meine Erklärung steht immernoch, bedeutet, ich hab daran nichts falsches gefunden. [quote]Original von Lazarus Mal schauen ob ich dich richtig verstehe. die Aufgabe lautet "Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} a, b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ in der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=a\cdot \sin(bx) \end{eqnarray}$ sodass die Periode von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit den beiden Geraden $\begin{eqnarray} g_1=a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_2=\frac{a}{2} \end{eqnarray}$ innerhalb der ersten Periode einen Flächeninhalt von $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ einschliesst." /quote] Das stimmt, bis auf dem letzten Teil (siehe Skizze) Sie schließen es nicht innerhalb der ersten Periode ein, sondern $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_2=\frac{a}{2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ bei ihrem Schnittpunkt ... Und diese Fläche die alle drei Funktionen einschleißen, muss A ergeben Also, irgendjemand irgendwelche Ideen
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15.12.2007, 12:27	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte lass dir nicht alles aus der Nase ziehen, das ist wirklich mühsam! Hat Leopold nun Rrecht gehabt damit, dass dieses $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ nicht das selbe ist, das bei $\begin{eqnarray} f(x)=a\cdot \sin(4x) \end{eqnarray}$ steht ? Deiner Skizze nach zu urteilen hätte er Recht. Allerdings würde diese Aufgabenstellung das dennoch als sinnvoll (und leichter) nahelegen.
15.12.2007, 12:36	Elisabethen	Auf diesen Beitrag antworten »
Tschuldigung das ich nicht darauf reagiert habe, habe nicht realisiert , dass es als Frage aussteht. In der Aufgabenstellung wird nicht näher darauf eingegangen ob es das gleiche a ist. Ich denke ja! (Wenn in einer Skizze der gleiche Paramter "a" gewählt wurde, bei verschiedenen Funktionen, gehe ich davon aus, dass es die gleiche Zahl sein muss). Ein kleinen Ungenauigkeitsfehler habe ich in meiner Skizze erkannt. Die Funktion g(x)=a trifft f(x) am Extremum, ich habe es etwas ungenau gezeichnet. Also meine Frage steht immernoch aus.
15.12.2007, 12:52	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, g die Funktion f im Extremum trifft, dann ist es das selbe a (Erleichterung) Somit weiter im Text. Wie bestimme ich die Fläche ? 2 Möglichkeiten: Flächenaufteilen: Die Aufteilung kann jeder machen wie er lustig ist. Hier mal eine Möglichkeit, wie ich mir gedacht hab das es schnell gehen könnte. Insgesamt habe ich das Rechteck R mit den Eckpunkten $\begin{eqnarray} O(0,0), \ A(0,a),\ B(\frac{\pi}{4},a),\ C(\frac{\pi}{4},0) \end{eqnarray}$ Ausserdem noch die Punkte $\begin{eqnarray} P(0,\frac{a}{2}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q(\arcsin(\frac{a}{2}),\frac{a}{2}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W(\arcsin(\frac{a}{2},0) \end{eqnarray}$ . Wählt man nun $\begin{eqnarray} I:=OWQP \end{eqnarray}$ Dann ist die gesuchte Fläche $\begin{eqnarray} F=OCBA-\int_{\arcsin(\frac{a}{2})}^{a}a\sin(bx)\dd x-I \end{eqnarray}$ . Das sieht man leicht, wenn man sich die Flächen bunt anmalt Doppelintegral: Im Prinzip gleiches Vorgehen, allerdings formaler und daher mit weniger überlegungen und einfaches einsetzten. Bei interesse kann ich ja mal da den Ansatz posten. Bei deinem Vorschlag klappt das das auf keinen Fall, ich weiss nicht wieso du z.b. $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ zweimal abziehst... Da gibts einige Stück die zuviel abgezogen werden und andere die komplett ausser acht gelassen sind. Nein so geht das nicht!
15.12.2007, 14:23	Elisabethen	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie baut sich ein riesiges Fragezeichen in meinem Kopf auf ... wo hast du denn dann A=1 eingebracht? Und ja ich sehe jetzt auch das mein Grundgedanke ziemlich falsch ist Im Prinzip ist es doch aber so das drei Funktionen eine Fläche einschließen ... Wie wäre es denn damit : Man bildet insgesamt drei Integrale $\begin{eqnarray} A= \int_{0}^{\frac{\pi}{4} }~g(x)~dx - \int_{0}^{g_2(x)=f(x) }~g_2(x)~dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{4} }~f(x)~dx = 1 \end{eqnarray}$ [ $\begin{eqnarray} g_2(x)=f(x) \end{eqnarray}$ damit meine ich den Schnittpunkt der beiden Funktionen] Ich hoffe das ist nachvollziehbar ... Das erste Integral ist ja eigentlich analog zu dem ersten Rechteck welches du gebildet hast. Das zweite Integral ... lässt das kleine Stück zwischen $\begin{eqnarray} g_2(x) \end{eqnarray}$ und f(x) verschwinden. Das dritte Integral lässt die Fläche unter f(x) verschwinden, also im Prinzip der Rest vom Rechteck , damit nur noch A übrig bleibt. Müsste doch prinzipiell so stimmen ? Ob es klappt ist eine andere Sache, aber stimmen müsste es.
15.12.2007, 14:59	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte für mein F die 1 eingesetzt. Das ist ja dann nurnoch Rechenarbeit, Ja jetzt stimmts. Wenn du dich jetzt nich verrechnest dann solltest du das richtige rausbekommen.
15.12.2007, 20:11	Elisabethen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok doch ein kleines Problem Ich komme nicht drauf, wie Lösung ich die Gleichung bei der "Schnittpunktsuche" von g_2(x)=f(x) Man hat ja dann folgendes stehen: $\begin{eqnarray} \frac{a}{2}= a \cdot sin(4x) \end{eqnarray}$ gut , :a ergibt $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}= sin(4x) \end{eqnarray}$ und weiter
15.12.2007, 22:04	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kannte da mal so ne Tabelle: $\begin{eqnarray} \begin{array}{c\|c\|c\|c\|c\|c} \measuredangle & 0 & \frac{\pi}{2} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{6} \\\hline \sin{ } & 0 & 1 = \frac{\sqrt{4}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{1}}{2} \end{array} \end{eqnarray}$ So und der arcsin ist nun genau andersrum zu lesen. Wo ist der Sinus = 1/2 ?
16.12.2007, 00:46	Elisabethen	Auf diesen Beitrag antworten »
na bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{6}\cdot \pi \end{eqnarray}$ Aber ... wie geht es weiter ... ich kenne die Methode, dass man - das was im Sinus steht (Gibt es da eigentlich einen "Fachbegriff" für ? - substituiert : $\begin{eqnarray} sin (4x) =\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ (1) $\begin{eqnarray} 4x_{k_ {1/2}} =\frac{1}{6}\cdot \pi \pm 2k\pi \end{eqnarray}$ \|:4 $\begin{eqnarray} x_{k_ {1/2}} =\frac{1}{24}\cdot \pi \pm \frac{1}{2}k\pi \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} 4x_{k_ {3/4}} =- \frac{1}{6}\cdot \pi \pm 2k\pi \end{eqnarray}$ \|:4 $\begin{eqnarray} x_{k_ {3/4}} = -\frac{1}{24}\cdot \pi \pm \frac{1}{2}k\pi \end{eqnarray}$ Ja ... aber egal was ich für k eintippe ... da kommt einfach kein richtiger Wert raus! Der Schnittpunkte müsste ja eigentlich unter $\begin{eqnarray} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray}$ sein.
16.12.2007, 01:48	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Das "Ding im Sinus" heisst "Argument". Ich verstehe nicht was du da mit dem $\begin{eqnarray} k_{1/2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k_{3/4} \end{eqnarray}$ genau aussagen wilslt ? Aber wenn ich deine Denkweise richtig erahne dann stimmts.
16.12.2007, 02:30	Elisabethen	Auf diesen Beitrag antworten »
ehrlich gesagt weiß ich es auch nicht genau ... so hat es uns unser Lehrer beigebracht. Weißt du da genaueres was damit gemeint sein kann? Und: Wie bestimme ich denn nu den Schnittpunkt
16.12.2007, 12:49	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Also hier würde ichs mir ganz leicht machen. Ich weiss, dass ich nur den ersten Schnittpunkt im ersten Quadranten brauche. Dieser liefert mir mein arcsin direkt (Siehe Def von arcsin warum) Daher sähe meine Rechnung so aus: $\begin{eqnarray} \sin(4x)&=&\frac{1}{2}\\4x&=&\frac{\pi}{6}\\x&=&\frac{\pi}{24} \end{eqnarray}$ Das allgemein zu machen und alle Nullstellen zu finden bedarf immer blöder Rechnerei sowie einer Fallunterscheidung. Gibt einige schöne Beiträge hier im Board dazu, also falls es dich interessiert kann man da ja mal suchen.
16.12.2007, 14:10	Elisabethen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich habs raus Wirklich vielen vielen vielen Dank für deine Hilfe! Schönes Wochenende noch

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