Gleichung nach Variable auflösen

15.12.2007, 13:14

RoXX

Gleichung nach Variable auflösen

Hi!
Ich komm bei ner Aufgabe überhaupt nicht weiter,
ich soll die untenstehende gleichung nach k auflösen,
aber irgendwie krieg ichs nicht hin unglücklich

http://666kb.com/i/aue0f2ybo8uocq6it.jpg

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!!!

15.12.2007, 13:27

Zellerli

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Also ein bisschen was is da noch offensichtlich:

$\begin{eqnarray*} \sin{\beta} \cdot v_K \cdot t + y_K=\sin{(k+\alpha)}\cdot v_A \cdot (t-\frac{k}{v_{Dreh}})+y_A \quad \quad |-y_A \quad \quad | :v_A \end{eqnarray*}$

führt zu: $\begin{eqnarray*} \frac{\sin{\beta} \cdot v_K \cdot t + y_K - y_A}{v_A}=\sin{(k+\alpha)} \cdot (t-\frac{k}{v_{Dreh}}) \end{eqnarray*}$

Und dann musst du dir mal die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen antun.

15.12.2007, 13:46

RoXX

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Hmm ja der erste Schritt ist in der Tag offensichtlich Augenzwinkern

aber wenn ich jetzt den 1. Additiontheorem anwende der besagt das
sin (a +b) = sin a cos b + cos a sin b

komme ich auf die Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin{\beta} \cdot v_K \cdot t + y_K - y_A}{v_A}=(\sin k \cdot \cos \alpha + \cos k \cdot \sin \alpha) \cdot (t-\frac{k}{v_{Dreh}}) \end{eqnarray*}$

Wenn man dass dann noch ausmultipliziert auf

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin{\beta} \cdot v_K \cdot t + y_K - y_A}{v_A}=\sin k \cdot \cos \alpha \cdot t + \cos k \cdot \sin \alpha \cdot t - \sin k \cdot \cos \alpha \cdot \frac{k}{v_{Dreh}} -\cos k \cdot \sin \alpha \cdot \frac{k}{v_{Dreh}} \end{eqnarray*}$

und jetzt fängt für mich der Punkt an wo ich mal wieder überhaupt nix peile -.-

15.12.2007, 13:57

mYthos

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Mache dir keine Hoffnungen auf eine algebraische Lösung. Da das Argument k sowohl in der Sinusfunktion als auch ausserhalb derselben vorkommt, ist diese Gleichung nur näherungsweise lösbar.

Das funktioniert auch bei dieser einfachen Gleichung nicht anders.

$\begin{eqnarray*} k \cdot sin k - v \cos k = k \cdot c \end{eqnarray*}$

Die Lösung ist nicht algebraisch darstellbar.

mY+

15.12.2007, 14:14

Zellerli

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Puh, so ein Glück. Ich hatte grade auch ewig den Hänger. Hab garnicht gewusst, dass so ein Satz gilt. Sehr fein, hab ich auch was dazu gelernt Augenzwinkern

Dann die Frage an RoXX: Wie kommst du auf diese Gleichung? Sieht recht physikalisch aus, wie lauten die Bedingungsgleichungen? Vielleicht liegt da der Fehler, oder du sollst dich tatsächlich numerischer Hilfsmittel bedienen Augenzwinkern

15.12.2007, 14:15

RoXX

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danke, ich war mir eh schon relativ sicher dass das so nichts mehr wird -.-

vielleicht sollte ich die ganze Aufgabe anders angehen

Ich habe eine Funktionenscharr F:

$\begin{eqnarray*} F_k (t)= \sin (k+\alpha) \cdot v_A \cdot (t-\frac{k}{v_{Dreh}} ) + y_A \end{eqnarray*}$

und eine Funktion G:

$\begin{eqnarray*} G(t)=\sin \beta \cdot v_K \cdot t + y_K \end{eqnarray*}$

Mein Ziel wäre es auszurechnen, für welche Parameter k die Funktionen einen Schnittpunkt haben.

Dazu hatte ich die Funktionen gleichgesetzte, aber dass brachte mich in die oben dargestellte Sackgasse...

Habt ihr hierfür vieleicht irgendwelche Lösungsansätze?

15.12.2007, 14:20

mYthos

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Genau da liegt der Hund: Der Parameter ist t und nicht k !!

EDIT: Sorry, da habe ich doch etwas übersehen. t ist die Variable und k tatsächlich der Scharparameter. Hmmm ...

mY+

15.12.2007, 14:33

Zellerli

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Ich denke der Parameter wird schon k sein, er kommt ja nur in der Funktionenschar F vor.
t ist hier offenbar unabhängig.

15.12.2007, 14:42

mYthos

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Ja, du hast Recht, ich musste es gerade revidieren ....

mY+

15.12.2007, 16:02

RoXX

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So ich versuch mal mein Ziel in Worte zu fassen:

Die Funktion
$\begin{eqnarray*} G(t) = \sin \beta \cdot v_k \cdot t + y_K \end{eqnarray*}$

Beschreibt die Position eines Objekt K zur Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , das sich mit der Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v_k \end{eqnarray*}$ in Richtung des Winkels $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ bewegt.

$\begin{eqnarray*} y_K \end{eqnarray*}$ ist die Startposition.

Alle Variablen bis auf t sind gegeben, ich möchte aber das Ergebnis in abhängig keit von ihnen als Formel herausfinden.

Die Funktionenschar
$\begin{eqnarray*} F_k (t)= \sin (k+\alpha) \cdot v_A \cdot (t-\frac{k}{v_{Dreh}} ) + y_A \end{eqnarray*}$
soll die Position eines anderen Objekts A darstellen, der sich erst mit der Drehgeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v_{Dreh} \end{eqnarray*}$ um den Winkel k dreht und dann mit der Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v_A \end{eqnarray*}$ in die Richtung des Winkels $\begin{eqnarray*} \alpha + k \end{eqnarray*}$ bewegt.
$\begin{eqnarray*} y_A \end{eqnarray*}$ ist die Startposition.

Alle Variabelen außer k und t sind gegeben

Ich möchte den Winkel $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ herausfinden, um den sich das Objekt A drehen muss, um das Objekt K zu treffen

Ich werde demnächst noch ein Bild dazu anhängen und schauen, ob ich die orignal Aufgabenstellung finde

15.12.2007, 16:38

mYthos

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Es bleibt dennoch dabei, dass Gleichungen mit Variablen, die sowohl als Argument in Winkelfunktionen als auch ausserhalb auftauchen, im Allgemeinen nicht algebraisch lösbar sind.

Versuche das mal mit der wirklich einfachen Gleichung

$\begin{eqnarray*} \cos k = k \end{eqnarray*}$

k = 0,739

Hier funktioniert die Näherungsmethode noch. Wenn noch andere (allgemeine Form-) Variablen mit im Spiel sind, geht dies auch nicht mehr. Da hilft als Näherung eventuell noch eine Zerlegung der Winkelfunktion in eine (abgeschnittene) Potenzreihe.

mY+

15.12.2007, 17:05

RoXX

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Ja das stimmt wohl.

Wenn ich jetzt aber die Gleichung mal nach t auflöse, kommt das raus:

$\begin{eqnarray*} t=\frac{-\sin(k+\alpha)\cdot v_a \cdot \frac{k}{v_{Dreh}} + y_a - y_k}{\sin \beta \cdot v_k - \sin(k+\alpha) \cdot v_a} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die Werte von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} k \in [0;360] \end{eqnarray*}$ ausrechne, bzw. meinen PC ausrechnen lassen, müsste doch durch die Werte von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ersichtlich werden, wann die Funktionen einen Schnittpunkt besitzen.
Also wenn $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ einen nicht negativen Wert annimmt.

Oder liege ich hiermit auch falsch?

19.12.2007, 02:26

mYthos

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Zitat:

Original von RoXX
...
Wenn ich jetzt die Werte von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} k \in [0;360] \end{eqnarray*}$ ausrechne, bzw. meinen PC ausrechnen lassen, müsste doch durch die Werte von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ersichtlich werden, wann die Funktionen einen Schnittpunkt besitzen.
...

Ja, das kann man machen, es bringt aber auch nichts anders Entscheidendes und ist ebenfalls eine näherungsweise Lösungsmethode.

mY+

22.12.2007, 15:52

RoXX

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Gut

dann kann das Thema geclosed und als gelöst betrachtet werden, da mir eine näherungsweise Lösungsmethode reicht...

Danke für eure Hilfe!

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