Unterräume

24.04.2005, 02:59

Snooper

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Unterräume

Sind M und N zwei Mengen, so definiert man die Schnittmenge von M und N durch M M(durchschnittzeichen)N:={x: $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M und x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N} und die Vereinigungmenge von M nach N durch MUN:= {x: x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M oder x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N}.Dabei ist "oder" nicht ausschließend gemeint, d.h. x gehört auch dann zu MUN, wenn x in beiden Mengen liegt.

- Sei V ein reeler Vektorraum. Zeigen Sie:Sind $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ teilmenge V Unterräume, so ist auch $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ (durchschnittzeichen) $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von V.

- Sei V der Raum der Vektoren im affinen Raum A².Zeigen Sie, dass die Vereinigungsmenge zweier Unteräume von V i.a. kein Unterraum ist.

kann mir da jemand helfen???

mfG

24.04.2005, 03:10

Snooper

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RE: Unterräume
V= $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ²

M={ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ : x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M}

Dann ist MUN kein unterraum,da zwar $\begin{eqnarray*} \mathbb R \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M C MUN und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ C N C MUN aber $\begin{eqnarray*} \mathbb R \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + \mathbb R \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = $\begin{eqnarray*} \mathbb R \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kein element $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ U $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ gilt.

da habe ich versucht den zweiten teil zu machen etwa richtig oder falsch??

24.04.2005, 08:18

mountainflower

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Hallo Snooper,

Deinen zweiten Post verstehe ich nicht wirklich. Was hast Du denn als U_1 und U_2 gewaehlt? Und M kannst Du nicht definieren, indem Du alle x aus M nimmst mit einer bestimmten Eigenschaft. Das M darf in der eigenen Definition nicht vorkommen.

Am besten nimmst Du bei solchen Beweisen beliebige v und w aus dem zu ueberpruefenden Raum V und ein k aus dem zugrundeliegenden Koerper K und testest die Eigenschaften von einem Vektorraum (bzw die Definition, falls Ihr den Vektorraum so definiert habt) durch, die da waeren:
- kv in V
- v+w in V

Gruss,
mountainflower

/edit: Haette fast vergessen, dass Du auch noch zeigen musst, dass der Nullvektor im Unterraum liegt...

24.04.2005, 11:53

JochenX

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RE: Unterräume

Zitat:

Original von Snooper, mit reingepfusche von mir
V= $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ²

M={ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ : x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M}
N={ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \begin{pmatrix} 0 \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ : x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N}

Dann ist MUN kein unterraum,da zwar $\begin{eqnarray*} \mathbb R \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M C MUN und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ C N C MUN aber $\begin{eqnarray*} \mathbb R \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mathbb R \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} =\mathbb R \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kein element $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ U $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ gilt.

da habe ich versucht den zweiten teil zu machen etwa richtig oder falsch??

so hab das mal noch etwas verpfuscht und den tex verbessert....
ich bin mir hier grad nicht sicher, was du mit IR(0/1) bezweckst, aber da müsste ich wohl noch mal über affine räume nachlesen!?
auch wofür du M,N so definierst...!?

zumindest ist deine grundidee gut.... zur mathematischen schreibweise sag ich mal nichts.
ein element aus U1 und ein element aus U2 vereinigt, liegt i.A. nicht in der vereinigung, würde aber für einen untervektorraum bebraucht.

zur anderen aufgabe:
zeige die üblichen unterraumkriterien

beachte dabei, das U1, U2 selbst unterräume sind, also z.b beide 0 enthalten müssen

24.04.2005, 20:09

Snooper

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RE: Unterräume
hallo loed habe mein virus problem zur seite beschafft jetzt nich die letzte aufgabe freut mich dass du in bist..fange mal mit der aufgabe an

M und N waren Mengen aus vektoren..

24.04.2005, 20:13

JochenX

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$\begin{eqnarray*} M=\{\mathbb R \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} : x\in M\} \end{eqnarray*}$
hier definierst du aber M über M selbst, ich glaube, da ist etwas schiefgelaufen!

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24.04.2005, 20:20

Snooper

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bei (1)

zz: $\begin{eqnarray*} u_0 \end{eqnarray*}$ und w sind elemente von U(durchschnitt)W.so muss auch $\begin{eqnarray*} u_0 \end{eqnarray*}$ +w $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U(durchschnitt)W(abgeschlossenheit bzgl. addition):Es muss also $\begin{eqnarray*} u_0 \end{eqnarray*}$ +w in U oder in W liegen....so vielleicht???

24.04.2005, 20:29

JochenX

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öhm, nein.....

3 schritte wie gehabt

zeige zunächst: 0 ist in (U geschnitten W)
hast du den teil schon?

danach: v, x sind in (U geschnitten W), was bedeutet, das für v,x in bezug auf die beiden mengen?

24.04.2005, 20:31

Snooper

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nö habe ich nicht..kannst du mir ein tip geben wie ich das hier zeige

24.04.2005, 20:33

JochenX

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ich gebe dir folgenden tipp:

was für elemente liegen denn in (U geschnitten W)?
die die in U und in W liegen.

wenn du also für irgendeine der aufgaben zeigen musst, das irgendwas im schnitt liegt, dann zeige, dass es sowohl in u als auch in W liegt.
zeige also das 0 in U und in W liegt...

das sind doch selbst unterräume..... Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.04.2005, 20:39

Snooper

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(u+w)*0=u*0+w*0---->U(durchschnitt)W={0}

so vielleicht

24.04.2005, 20:44

JochenX

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nein

ich habs dir doch fast schon verraten:

zu zeigen: x in UschnittW
1) zeige x in U
2) x in W

in deinem ersten Fall ist x der nullvektor

konzentrier dich bitte ein wenig! das ist echt nicht schwer!

24.04.2005, 20:48

Snooper

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x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U und x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ w????ich komme nicht weiter

24.04.2005, 20:50

JochenX

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verstehst du überhaupt, was ich meine?

$\begin{eqnarray*} x \in (U \cap W) <=> x \in U \wedge x \in W \end{eqnarray*}$
das gilt für alle elemente!

du sollst nun zeigen: $\begin{eqnarray*} 0 \in (U \cap W) \end{eqnarray*}$ , wie zeigst du das also?

24.04.2005, 20:54

Snooper

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´klar verstehe ich das x ist sowohl in u auch in w enthalten,.....

also 0 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (UschnittW)<=> 0 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U^0 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ W

24.04.2005, 21:01

JochenX

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ja richtig, 0 im schnitt ist zu zeigen, denn der schnitt soll ein vektorraum sein.
das ist klar oder?

du zeigst nun dafür das 0 sowohl in U als auch in W liegt.
[U und W sind unterräume....]

klar nun?

24.04.2005, 21:03

Snooper

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ja das ist super leicht..verstehe es auch sonst hätte ich dich wieder gefragt smile

smile

))

und nun muss die abgeschlossenheit bzgl der addtion zeigen nicht wahr...auch so?--->>x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U und W so ist auch x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U+W

24.04.2005, 21:13

JochenX

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das machst du auch so im endeffekt

du hast nun 2 elemente v,x aus dem schnitt (das heißt insbesondere, das v,x jeweils in U und in W liegen!)
zu zeigen ist ja nun: v+x liegt auch im schnitt

zeige dafür: v+x in U, v+x in W

mfg jochen

24.04.2005, 21:18

Snooper

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v,x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ UschnittW<=> v+x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U^v+x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ W=>v+x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ UschnittW

so richtig

24.04.2005, 21:20

JochenX

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das ist schon richtig, aber woher nimmst du den ersten folgepfeil?

v,x in U schnitt W =>..... => (v+x in U) und (v+x in W) => rest okay

da wo ich pünktchen gemacht habe, da fehlt noch was
warum gilt das denn so?

24.04.2005, 21:26

Snooper

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was soll ich denn jetzt zeigen die zwischenschritte

24.04.2005, 21:34

JochenX

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das solltest du wissen!
du hast doch oben irgendwie argumentieren wollen?

wieso warst du dir denn da sicher, das v+w sowohl in U als auch in W liegen muss?

bedenke: liegt ein element y in (UschnittW) dann liegt es in U und in W

viellciht kannst du ja damit mehr anfangen

24.04.2005, 21:38

Snooper

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ja weil dann y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U und y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ W ist...y liegt halt im schnitt von U und W denn U und W haben im schnitt gemiensame elemente das ist hier dann der y!

24.04.2005, 21:40

JochenX

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was bringt dir das für dein x und dein v aus dem schnitt?

ich fange nochmal an, okay?
x und v liegen im schnitt => x und v liegen jeweils in U und in W
jetzt bedenke, dass U und W selbst vektorräume sind, was folgerst su also aus
"x und v liegen jeweils in U und in W" in bezug auf v+x?

24.04.2005, 21:43

Snooper

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dass UschnittW auch ein vektorraum ist..

24.04.2005, 21:45

JochenX

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nicht immer alle schritte auf einmal, snooper!

Zitat:

was folgerst su also aus "x und v liegen jeweils in U und in W" in bezug auf v+x?

sag mir doch bitte erst mal die direkte konsequenz!

vestehst du grad wirklich wovon ich rede?
wenn nicht, dann sei bitte ehrlich!

24.04.2005, 21:51

Snooper

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ich verstehe das x und v jeweils in U und in W liegen ich weiss nur nicht was ich jetzt folgern muss

24.04.2005, 21:53

JochenX

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x und v liegt in U
u ist ein vektorraum

was folgt für v+x?
liegt das vielleicht auch in U... oder so?

24.04.2005, 21:54

Snooper

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ja klar..wenn x,v jeweil in U und W liegen so muss auch x+v jeweil in U und W liegen

24.04.2005, 22:00

JochenX

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richtig! wegen der unterraumeigenschaft von U und W

dann poste noch mal die ganze implikationskette...
v,x in (U schnitt W)=>................................................=>v+x in (U schnitt W)

anschließend ähnliches für die skalare multiplikation

24.04.2005, 22:12

Snooper

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v,x in (UschnittW)=>(v+x in U) und (v+x in W)=>v*x in (UschnittW)

so okay

24.04.2005, 22:14

JochenX

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v*x? öhm

das ist wieder genau wie dein erster versuch

so wärs korrekt:
v,x in (U schnitt W) => v,x in U und v,x in W =>(weil U, W Vektorräume) v+x in U und v+x in W => v+x in (U schnitt W)

24.04.2005, 22:21

Snooper

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ist hier zu zu zeigen v+x liegt in UschnittW oder v,w liegt in Uschnittw

richtig ist v+w element von Uscnitt W ne

24.04.2005, 22:25

JochenX

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du zeigst wie gewohnt:
2 vektoren liegen im schnitt => ihre summe liegt im schnitt

nun du mit der skalaren multiplikation...

24.04.2005, 22:30

Snooper

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zz:kv in UschnittW k $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ K

v in (UschnittW) und k in K=>kv in U und kv in W=>kV in (UschnittW)

so richtig

24.04.2005, 22:36

JochenX

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hmm joa
ich würde aber wieder => v in U und v in W zwischenschieben

24.04.2005, 22:36

Snooper

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v in (UschnittW) und k in K=>v in U und v in W=>kv in U und kv in W=>kV in (UschnittW)

so etwa

24.04.2005, 22:45

Snooper

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wie geht es denn jetzt mit dem zweiten teil ??mit der vereinigungsmenge zweier unteräume von V dass es kein Unterraum ist

24.04.2005, 22:46

JochenX

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perfekt!

das wars eigentlich schon mit dieser aufgabe!
wirklich nicht schwer, oder?

wegten der anderen: poste die vielleicht noch mal, ich glaube, da waren noch fehler vorne!

mfg jochen

edit:

Zitat:

mit der vereinigungsmenge zweier unteräume von V dass es kein Unterraum ist

geht es da um vektorräume doer affine räume?

24.04.2005, 22:49

Snooper

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wegten der anderen: poste die vielleicht noch mal, ich glaube, da waren noch fehler vorne!

was meinst du damit???

stimmt da geht es mu vektorräume der affinen raum A²

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