integration zweier therme

15.12.2007, 14:27

The Rob

integration zweier therme

hallo!

könnte mir bitte jemand folgende zwei terme auflei...ähm ich meine integrieren^^

ich komme da gar nicht weiter, und muss einfach mal an einem beispiel sehen, wie das geht!

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~ \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} ~dx \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{z \to \infty} \int_{3}^{z}~\frac{1}{(x^{2}-1)\cdot \sqrt{x}}~dx \end{eqnarray*}$

15.12.2007, 14:34

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Zu 1) Partielle Integration von $\begin{eqnarray*} \int ~ x \cdot \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ und dann Nutzung des Standardintegrals $\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Zu 2) Die Substitution $\begin{eqnarray*} t = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ überführt den Integranden in eine gebrochen rationale Funktion, die dann wie üblich mit PBZ beackert werden kann.

15.12.2007, 14:36

Lazarus

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Ich würde bei der ersten ein bisschen Umschreiben, damit ich partielle Integration anwenden kann und dann fällt der Rest eingentlich schon ins Auge...

15.12.2007, 15:34

The Rob

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wofür steht denn die abkürzung pbz?

15.12.2007, 15:39

tmo

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Für Partialbruchzerlegung.

aber ich kann beim ersten integral gerade den Weg von Arthur Dent nicht nachvollziehen. denn kommt man mit Partieller Integration (PI) nicht auf das Integral $\begin{eqnarray*} \int \sqrt{1-x^2}dx \end{eqnarray*}$ , welches zwar lösbar, aber kein standardintegral ist? man müsste noch einmal substituieren und dann noch einmal PI anwenden.

ich würde viel mehr die substitution $\begin{eqnarray*} x = sin(t) \end{eqnarray*}$ vorschlagen, wodurch man direkt auf das integral kommt, welches man mit PI lösen kann.

15.12.2007, 16:26

The Rob

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Zitat:

Original von tmo
substitution $\begin{eqnarray*} x = sin(t) \end{eqnarray*}$

wie soll ich denn bitteschön auf eine sooo offensichtliche substitution kommen?!? LOL Hammer

15.12.2007, 16:32

tmo

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das ist bei integralen, welche in irgendeiner form $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ enthalten, eigentlich eine standardsubstitution, die man ausprobieren kann.

15.12.2007, 16:36

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Zitat:

Original von tmo
aber ich kann beim ersten integral gerade den Weg von Arthur Dent nicht nachvollziehen. denn kommt man mit Partieller Integration (PI) nicht auf das Integral $\begin{eqnarray*} \int \sqrt{1-x^2}dx \end{eqnarray*}$ , welches zwar lösbar, aber kein standardintegral ist? man müsste noch einmal substituieren und dann noch einmal PI anwenden.

$\begin{eqnarray*} \int ~ x \cdot \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} ~ \dd x = -x\cdot\sqrt{1-x^2} + \int ~ \sqrt{1-x^2} ~ \dd x = -x\cdot\sqrt{1-x^2} + \int ~ \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

also durch Umstellung

$\begin{eqnarray*} 2\int ~ \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} ~ \dd x = -x\cdot\sqrt{1-x^2} + \int ~ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Nicht die Wege anderer durch den Kakao ziehen, bevor man sich nicht sicher ist, wie es gemeint ist. Augenzwinkern

15.12.2007, 16:55

tmo

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ah ok soweit hatte ich jetzt gar nicht gedacht Big Laugh

16.12.2007, 18:55

The Rob

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RE: integration zweier therme
also, ich habe in der stunde folgenden lösungsweg von der tafel abgeschrieben (zu 1) den iuch jedoch nicht nachvollziehen kann!

wenn ihn mir vllt jemand erläutern könnte?

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~ \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} ~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=x\arcsin(x) + \sqrt{1 - x^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =x^{2}\arcsin(x) - \int_{0}^{1}~ 2x\arcsin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =x^{2}\arcsin(x) - [2x(x\arcsin(x)+ \sqrt{1-x^{2}} )]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x)=\arcsin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=x\arcsin(x) + \sqrt{1-x^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (uneigentliche..integrale) \end{eqnarray*}$

und nun hört es auf...
verwirrt

17.12.2007, 09:22

therobinschule

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hat denn keiner eine idee?
geschockt

17.12.2007, 09:42

klarsoweit

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RE: integration zweier therme

Zitat:

Original von The Rob
$\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=x\arcsin(x) + \sqrt{1 - x^{2}} \end{eqnarray*}$

Also wenn das an der Tafel stand, war das schon grober Unfug.
Eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \end{eqnarray*}$ ist g(x) = arcsin(x).

Im übrigen hat Arthur Dent schon alles vorgerechnet.

@therobinschule: bist du identisch mit The Rob?

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