Indexverschiebung beim Potenzreihenansatz

24.04.2005, 09:43	TomBombadil	Auf diesen Beitrag antworten »
Indexverschiebung beim Potenzreihenansatz Also in der letzten Differentiallgleichungsvorlesung haben wir den potenzreihenansatz zum lösen von lienearen DGL`s zweiter Ordnung verwendet. Die Idee ist mir klar, bis auf ein kleines techn. Detail. Also: Wir haben eine LEGENDRE ' sche DGL. Als eine DGL der Form: $\begin{eqnarray} [(x^{2} -1)y']' - \lambda y = 0 \end{eqnarray}$ Wenn wir das anders aufschreiben, haben wir: $\begin{eqnarray} (x^{2} -1)y'' + 2xy' -\lambda y = 0 \end{eqnarray}$ Wir machen den Ansatz: $\begin{eqnarray} y(x) = \sum_{v=0}^\infty ~ C_{v}(x-x_{0})^{v} \end{eqnarray}$ Also eine Potenzreihe. Wir entwickeln an der Stelle x = 0. Dadurch erhalten wir: $\begin{eqnarray} y(x) = \sum_{v=0}^\infty ~ C_{v}x^{v} \end{eqnarray}$ Die entsprechende 1. bzw 2. Ableitung: $\begin{eqnarray} y'(x) = \sum_{v=0}^\infty ~vC_{v}x^{v-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y''(x) = \sum_{v=0}^\infty ~v(v-1)C_{v}x^{v-2} \end{eqnarray}$ Nun setzen wir das in die DGL ein: $\begin{eqnarray} (x^{2}-1)\sum_{v=0}^\infty ~C_{v}v(v-1)x^{v-2} + 2x\sum_{v=0}^\infty~C_{v}v+^{v-1} - \lambda \sum_{v=0}^\infty~c_{v}v^{v} \end{eqnarray}$ Das nun ein wenig umgeschrieben ergibt: $\begin{eqnarray} \sum_{v=0}^\infty ~C_{v}v(v-1)x^{v} + \sum_{v=0}^\infty~2C_{v}vx^{v} - \sum_{v=0}^\infty~\lambda c_{v}x^{v}-\sum_{v=0}^\infty~v(v-1)c_{v}x^{v-2} \end{eqnarray}$ Also und nun kommt meine Frage: Um nun Koeffizientenvergleich zu machen, wird in der letzten Summe der index um 2 nach oben verschoben. Die anderen Indizes werden belassen. Also die letzte Sume Sähe dann so aus: $\begin{eqnarray} \sum_{-}^-~(v+2)(v+1)c_{v+2}x^{v} \end{eqnarray}$ Danach wird alles zu einer Summe zusammengefasst. Wieso kann ich so einfach die Indizes verschiebe. WEnn ich auf jedes v noch 2 dazu addiere und v immer noch von Null bis Unendlich laufen lasse, dann ist das doch nicht mehr die selbe Summe. Ich hoffe ich konnte meine Frage verständlich machen. Vielen Dank im Vorraus TomBombadil
24.04.2005, 11:43	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Indexverschiebung beim Potenzreihenansatz Vergleiche mal die Reihenentwicklungen der ersten Glieder: $\begin{eqnarray} \sum_{v=0}^\infty~v(v-1)c_{v}x^{v-2}=0+0+2\cdot 1\cdot c_2+3\cdot 2\cdot c_3 x+4\cdot 3\cdot c_4 x^2+5\cdot 4\cdot c_5 x^3++... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{v=0}^\infty~(v+2)(v+1)c_{v+2}x^{v}=2\cdot 1\cdot c_2+3\cdot 2\cdot c_3 x+4\cdot 3\cdot c_4 x^2+5\cdot 4\cdot c_5 x^3++... \end{eqnarray}$ Ich sehe das so, dass die Schreibweise mit dem Summenzeichen wirklich nur eine Schreibweise zur Darstellung der Reihe dahinter ist. Deshalb kann man durch geschickte Auswahl der Laufindizes die Schreibweise den augenblicklichen Erfordernissen anpassen, was sich dann als "Verschieben der Indizes" darstellt. Aber sicher wird es hier jemanden geben, der die Frage mit etwas mehr theoretischer Untermauerung beantworten kann.
24.04.2005, 23:03	TomBombadil	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm.... Ich denke das wars eigentlich schon.Danke.

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