Summenumformung

15.12.2007, 18:25	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenumformung Hallo, ich hab eine Reihe, bei der ich versuche zu Beweisen, dass sie gleich einer anderen Reihe ist. $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty ~ \frac{2+(-1)^n}{2^{n-1}}=1+7 \sum_{n=1}^\infty ~ \frac{1}{2^{2n}} \end{eqnarray*}$ Also ich kann die ersten Glieder einfach aufschreiben, umformen (immer zwei zusammenfassen) und dann sieht man eigentlich, dass es rauskommt, aber ich kann es halt nicht beweisen. Ich hab es schon mit Induktion versucht, bin aber gescheitert, obwohl ich die 1 ausgeschlossen hab und auch immer 2 n auf der einen seite für 1 n auf der anderen genommen hab (weil man ja immer zwei zusammenfasst. Dann hab ich versucht es zu beschreiben, aber meine Antwort ist wirklich kläglich.. Ich schrieb: Man kann davon ausgehen, dass die Reihe so weiter deht, da sich der Nenner von jedem n auf n+1 immer mit 2 multipliziert. Und da immer 2 der Brüche zusammen gefasst werden, muss der Bruch um 2 erweitert werden. Daraus ergibt sich ein Nenner, der bei 2 startet, und mit dem Exponenten 2n Erweitert wird. tja.. ich weiß man kann es eingentlich nicht verstehen. Bräuchte da echt Hilfe. Vielen Dank schon mal im Vorraus! Gruß Luci
15.12.2007, 18:33	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
das sind beides geometrische reihen, deren n-te partialsumme du explizit berechnen kannst.
15.12.2007, 20:50	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
naja, das ist beides die selbe partialsumme. und ich soll den wert der ersten berechnen. dafür hab ich sie so umgeformt, wie sie als zweites dasteht. nur muss ich eben noch zeigen, dass sie gleich sind.
15.12.2007, 20:56	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
wo ist denn dann genau dein problem? wenn du durch umformung von der ersten auf die zweite gekommen bist, dann ist das doch wunderbar, solange die umformung plausibel ist.
16.12.2007, 10:01	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab halt nicht wirklich umgeformt, sondern nur die ersten paar Folgeglieder aufgeschrieben und geschaut, wie die Summe dann aussehen kann: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{2+(-1)^n}{2^{n-1}}= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{1}+ (\frac{3}{2} +\frac{1}{4})+( \frac{3}{8}+ \frac{1}{16})+.. \end{eqnarray}$ hier hab ich dann noch 2 Klammern aufgeschrieben $\begin{eqnarray} =1+(\frac{23}{22}+ \frac{1}{4} )+(\frac{23}{28}+ \frac{1}{16})+... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =1+(\frac{6}{4}+ \frac{1}{4})+( \frac{6}{16}+ \frac{1}{16})+... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =1+\frac{7}{4}+ \frac{7}{16}+... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =1+7\sum_{n=1}^ \infty ~\frac{1}{2^{2n}} \end{eqnarray*}$ und damit hab ich dann bewiesen, dass es für die ersten Glieder gilt, aber eben nicht für alle, das glaube ich nur.
16.12.2007, 11:07	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
willst du die gleichheit von partialsummen nachweisen oder die gleichheit des grenzwertes? denn wenn du ersteres tun willst, dann musst du noch aufpassen, dass du aus 4 summanden der ersten reihe (die 1 vorne mal missachtet) zwei summanden der neuen reihe gemacht hast. entsprechend musst du anpassen wie weit der index läuft. aber ich gebe dir nochmal den tipp, dass beides geometrische reihen sind, die eigentlich kein problem darstellen sollten. sie auch hier: Geometrische Reihe (Wikipedia)
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