Lineare Abhängigkeit von Dualraum-Elementen

15.12.2007, 20:00

Musaki

Lineare Abhängigkeit von Dualraum-Elementen

Hallo, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum mit dim V = n. Sei V*:= L(V,K) der Dualraum von V. Für $\begin{eqnarray*} f_1,...,f_n \in V* \end{eqnarray*}$ gelte $\begin{eqnarray*} f_{i}(x_{0})=0 \end{eqnarray*}$ für alle i={1,...,n} und für ein $\begin{eqnarray*} x_0 \neq 0 \end{eqnarray*}$ aus V.
Man beweise, dass dann $\begin{eqnarray*} f_1,...,f_n \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind.

Mein Ansatz:

Linear abhängig heißt ja: $\begin{eqnarray*} \sum \lambda_{n}f_{n}=0 \end{eqnarray*}$ mit min. 1 $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Um diese Summe formal richtig darzustellen, habe ich zunächst Basen gebildet.
$\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ habe ich zu einer Basis von V ergänzt:

$\begin{eqnarray*} B:= (x_{0}, x_{1}, x_{1},...,x_{n-1}) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich eine Basis von V* mit gleichen vielen Basiselementen gebildet, da dim V = dim V*:

$\begin{eqnarray*} C:= (y_{1}, y_{2}, y_{3},...,y_{n}) \end{eqnarray*}$

Damit könnte ich die $\begin{eqnarray*} f_1,...,f_n \end{eqnarray*}$ nun auch als Linearkombinationen der Basisvektoren darstellen:

$\begin{eqnarray*} f_{i}= \lambda y_{1}+\lambda y_{2}+...+\lambda y_{n} = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}y_{i}=0 \end{eqnarray*}$

Die lineare Abhängigkeit hieße nun also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}y_{i}=0 \end{eqnarray*}$ mit min. 1 $\begin{eqnarray*} $\lambda \neq 0$ \end{eqnarray*}$

Hier komme ich nicht weiter. Irgendwie fehlt hier der Bezug zum Vektorraum V und v.a. der Information, dass $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ mit allen $\begin{eqnarray*} f_1,...,f_n \end{eqnarray*}$ immer auf die Null abgebildet wird. Wie kann ich das einbringen und brauche ich das eben Geschriebene überhaupt? Ich hab gerade ein Brett vorm Kopf... traurig

Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen smile

16.12.2007, 12:02

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ganze funktioniert so nicht. Hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}y_{i}=0 \end{eqnarray*}$

betrachtest Du bereits Deine Basis y und nicht mehr deine Funktionen f. Wenn dann sollte die Gleichung so lauten :

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}\mu_i \sum_{j=1}^{n}\lambda_{ij}y_j = 0 \end{eqnarray*}$ wobei

$\begin{eqnarray*} f_i = \sum_{j=1}^{n}\lambda_{ij}y_j \end{eqnarray*}$

Dabei sind die lambdas die Koeffizienten der Funktionen bezüglich der Basisdarstellung und die Mü's sind die eigentlichen Koeffizienten die wir untersuchen wollen.

16.12.2007, 14:39

Musaki

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, das ich da ich Basis betrachte, ist mir tatsächlich entgangen... okay, danke.

Aber wieso braucht die Darstellung:
$\begin{eqnarray*} f_i = \sum_{j=1}^{n}\lambda_{ij}y_j \end{eqnarray*}$ eine Doppelindex? verwirrt

Das ist mir nocht nicht klar.. würde mir aber bestimmt weiterhelfen.

Mittlerweile haben wir einen Tipp vom Prof. bekommen: "Man ergänze $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ zu einer Basis von V und betrachte die zugehörige Basis des Dualraumes (geschickte Wahl der Notation, insbesondere der Nummerierung und der "Laufindizes"; man stelle $\begin{eqnarray*} f_1, f_{2}, ..., f_{n} \end{eqnarray*}$ bezgl. dieser Basis (formal) dar und beachte die Dimensionsaussagen für Unterräume."

Zu Unterräumen fällt mit ein, dass $\begin{eqnarray*} f_{i}(x_{0})=0 \end{eqnarray*}$ stark dem Kern von f ähnelt, wobei ich aber ja nicht weiß, welche anderen Elemente aus V auch noch auf Null abgebildet werden.
Dimensionsaussagen: dim V = dim ker (f) + dim Bild f
ist diese Aussage gemeint? Die hatten wir in der Vorlesung. Oder gibt es noch weitere?

16.12.2007, 15:07

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f_i = \sum_{j=1}^{n}\lambda_{ij}y_j \end{eqnarray*}$ eine Doppelindex?

Weil wir nicht von vornherein davon ausgehen können das alle $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ die gleiche Basisdarstellung haben. Dann wäre die Aussage trivial. Wir betrachten eine linearkombionation der $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ und diese f_i zerlegen wir wieder in die Basisdarstellung, das heisst jedes $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ hat n Basiskoeffizienten. Dann haben wir n² Koeffizenten für die Basisdarstellungen (ohne unsere eigentlichen Mü's).

Zitat:

Zu Unterräumen fällt mit ein, dass $\begin{eqnarray*} f_{i}(x_{0})=0 \end{eqnarray*}$ stark dem Kern von f ähnelt, wobei ich aber ja nicht weiß, welche anderen Elemente aus V auch noch auf Null abgebildet werden.

Das heisst vor allem auch das $\begin{eqnarray*} f_i(\lambda x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ und damit jede Funktion f_i einen mindestens eindimensionalen Kern hat der dazu noch in jedem Kern der anderen f_i enthalten ist.

Zitat:

Die hatten wir in der Vorlesung. Oder gibt es noch weitere?

Seien U,W Unterräume von V dann gilt :

$\begin{eqnarray*} dim(U) \leq dim(V), dim(W) \leq dim(V) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dim(W) = dim(U) \Rightarrow W = U \end{eqnarray*}$

16.12.2007, 15:38

Musaki

Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal danke für die Antwort... =)

leider komme ich trotzdem nicht voran, ich habe überhaupt keine Idee, wie man hier weiter vorgehen, geschweige denn rechnen soll. Wieso helfen mir die Dimensionsaussagen bei dem Beweis der linerean Abhängigkeit der f_i? (der Tipp des Profs. ist mir da nicht klar). Sorry, falls ich mich irgendwie blöd anstelle, ich seh da einfach keinen Ansatz =(

16.12.2007, 20:09

Musaki

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir niemand an dieser Stelle weiterhelfen? :-S

20.12.2007, 01:24

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sache ist super-einfach: Es gibt ein Dualraum-Element g mit $\begin{eqnarray*} g(x_0)\neq 0. \end{eqnarray*}$ Nimm an, die f_i wären linear unabhängig. Dann sind $\begin{eqnarray*} f_1,\dots,f_n,g \end{eqnarray*}$ linear unabhängig (wieso?), was wegen dim V* = n nicht sein kann.

22.12.2007, 00:06

Musaki

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das war tatsächlich einfach, habs Sonntag dann genau mit der Annahme noch aufschreiben können... Forum Kloppe

Da hatte ich wohl ein Brett vorm Kopf.

Neue Frage »

Antworten »

Lineare Abhängigkeit von Dualraum-Elementen

Verwandte Themen