Zeige n + 1 teiler von n² + 1

16.12.2007, 16:26	Insanity84	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige n + 1 teiler von n² + 1 Bestimmen Sie alle Zahlen n $\begin{eqnarray} \in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ , so dass gilt: $\begin{eqnarray} n + 1 \end{eqnarray}$ ist Teiler von $\begin{eqnarray} n^2 + 1 \end{eqnarray}$ Ich habe folgenden Ansatz: $\begin{eqnarray} n^2 + 1 = n^2- 1 +2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (n-1)(n+1)+2 \end{eqnarray}$ nun weiss ich allerdings nicht weiter, ich moechte den Term so lange umformen, dass dort n+1 am ende rauskommt.
16.12.2007, 16:47	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
die umformung ist bis hierhin schonmal gut. jedoch musst du das, was da steht, auch richtig interpretieren. n soll so gewählt werden, dass $\begin{eqnarray} n+1 \mid (n-1)(n+1)+2 \end{eqnarray}$ gilt. da $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ auf jeden fall $\begin{eqnarray} (n-1)(n+1) \end{eqnarray}$ teilt, muss es auch 2 teilen. welche n kommen also nur in frage?
16.12.2007, 23:58	Insanity84	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} n+1\|2 \end{eqnarray}$ waere dann $\begin{eqnarray} n \in \{0,1\} \end{eqnarray}$ oder? unser prof gab uns den tipp, das soweit umzuformen, das am ende $\begin{eqnarray} = n + 1 \end{eqnarray}$ als ergebnis stuende.
17.12.2007, 08:14	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ergebnis ist richtig. Du kannst auch Polynomdivision machen, und dir dann den Restterm anschauen, das ist das gleiche. Was dein Prof meint, kann ich nicht nachvollziehen, mit "=" kommst du jedenfalls nicht auf (n+1) mfG 20
17.12.2007, 12:01	Insanity84	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dann hab ich noch einen zweiten Teil der Aufgabe: Bestimmen Sie alle Zahlen $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} n + 1992 \end{eqnarray}$ Teiler von $\begin{eqnarray} n^2 + 1992 \end{eqnarray}$ ist. Da hab ich leider nicht mal einen Ansatz gefunden, habs auch mit den Binomen probiert, aber damit nicht auf einen gruenen Zweig gekommen.
17.12.2007, 12:47	sdp_jona	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib mal um in: (n-1)(n+1)+1993 und (n-1)+1993.
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17.12.2007, 13:06	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@sdp_jona Nicht ganz klar, dein Tipp, denn n-1 und n+1 haben nicht sehr viel mit der Teilbarkeit durch n+1992 zu tun... Es sollte schon in Analogie zu oben der mutmaßliche Teiler abgespalten werden: $\begin{eqnarray} n^2+1992 = (n+1992)(n-1992)^2 + 1992\cdot 1993 \end{eqnarray}$ Für die verbleibende Frage $\begin{eqnarray} (n+1992) \;\mid\; (1992\cdot 1993) \end{eqnarray}$ muss man natürlich ein Auge auf die Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray} (1992\cdot 1993) \end{eqnarray}$ werfen...
17.12.2007, 13:06	Insanity84	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das hab ich auch schon gehabt, bin aber nicht weiter gekommen
17.12.2007, 13:18	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
War das jetzt die Antwort auf den Beitrag von sdp_jona, oder auf den von mir?

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