Differential

16.12.2007, 16:37

zeusosc

Differential

Hi, ich habe hier eine aufgabe, perönlich finde ich die schwer:

$\begin{eqnarray*} \text{Gegeben sei ein Vektor }v\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}.\text{ Bestimmen Sie alle stationären Punkte der} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Funktion }f(x)=\frac{1}{2}\|x-v\|^2\|x\|^2.\text{ Untersuchen Sie ob die stationören Punkte} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{lokale Maxima oder Minima sind. Hinweis: Weisen Sie nach das }x=\frac{1}{2}v\text{ einer der drei} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{stationären Punkte ist.} \end{eqnarray*}$

sooo, habe ich mal angefangen:
$\begin{eqnarray*} f(x+h)=\frac{1}{2}(\langle x-v,x-v\rangle\langle x,x\rangle +2\langle h,x-v\rangle\langle x,x\rangle + \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +2\langle x-v,x-v\rangle\langle h,x\rangle +4\langle h,x-v\rangle\langle h,x\rangle \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +\langle h,h\rangle (\langle x,x \rangle +2\langle h,x\rangle +\langle x-v,x-v\rangle +2\langle h,x-v\rangle+\langle h,h\rangle )) \end{eqnarray*}$

Da:
$\begin{eqnarray*} \lim_{\|h\|\rightarrow 0}\frac{\|h\|^2}{\|h\|}=\lim_{\|h\|\rightarrow 0}\|h\|=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x+h)=f(x)+Df(x)+R(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =f(x)+\langle h,x-v\rangle\langle x,x\rangle +\langle x-v,x-v\rangle\langle h,x\rangle +2\langle h,x-v\rangle\langle h,x\rangle +R(x) \end{eqnarray*}$

Ok, jetzt ist zu gucken wo $\begin{eqnarray*} Df(x)\overset{!}{=}0 \end{eqnarray*}$
Wenn ich jetzt in richtung $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ am punkt $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2}v \end{eqnarray*}$
gucke erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}\langle v,v\rangle ^2=0\Rightarrow v=0 \end{eqnarray*}$
aber irgendwie scheint mir das falsch,..

danke für eure hifle

16.12.2007, 17:35

Orakel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differential
um nachzuweisen, dass x=v/2 ein kritischer punkt ist, berechnest du am besten mal die j-te partielle ableitung von f nach $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ . das ergibt

$\begin{eqnarray*} \partial_jf(x)=(x_j-v_j)|x|^2+|x-v|^2x_j \end{eqnarray*}$ .

daraus folgt die behauptung, indem du einfach mal x=v/2 setzt.

16.12.2007, 17:45

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe schwierigkeiten mit dem thema, daher entschuldige die frage:
warum die j-te partielle differential und nicht das j-te differential von f??

sei gegrüßt
edit:
meinst du j-te stelle oder j-mal die partielle ableitung aller stellen??
gruß

16.12.2007, 18:05

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

die partielle ableitung nach $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ ist genau die ableitung nach der variablen $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ , das differential selbst (also die jacobi-matrix) ist eine lineare abbildung "die die funktion lokal annähert". stell dir das so vor wie beim eindimensionalen, wenn du die ableitung berechnet hast, gibt dir diese eine steigung der tangenten an, aber erst die tangente ist die lineare abbildung, besser gesagt die lineare approximation und damit eben dieses differential

16.12.2007, 18:07

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also doch nicht die j-te partielle ableitung sondern $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_j} \end{eqnarray*}$ ,..
ok danke,.
versuch ichs mal erneut,..

16.12.2007, 18:37

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe das mal durchgerechnet und ich komme auf ein anderes ergebniss,..
könnt ihr mir bitte sage wo der fehler ist??

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}\|x-v\|^2\|x\|^2 \end{eqnarray*}$
produktregel:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_j}=\frac{\partial (\hat{f}\cdot\tilde{f})}{\partial x_j}=\frac{1}{2}\left(\|x\|^2\frac{\partial}{\partial x_j}\|x-v\|^2+\|x-v\|^2\frac{\partial}{\partial x_j}\|x\|^2\right )= \end{eqnarray*}$
produktregel:
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\left ( \|x\|^2\left [ \|x-v\|\frac{\partial}{\partial x_j}\|x-v\|+\|x-v\|\frac{\partial}{\partial x_j}\|x-v\| \right ] +2\|x-v\|^2x_j\right )= \end{eqnarray*}$
kettenregel:
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\left(\|x\|^2\left[ 2\|x-v\|\Vert\frac{\partial x}{\partial x_j}-\frac{\partial v}{\partial x_j}\Vert\right]+2\|x-v\|x_j\right)= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\|x\|^2\|x-v\|\|x\|+\|x-v\|x_j=\|x\|^3\|x-v\|+\|x-v\|x_j \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\|x-v\|(\|x^3\|+x_j) \end{eqnarray*}$

gruß

16.12.2007, 20:54

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

keiner lust oder hat niemand den fehler gefunden??

gruß

16.12.2007, 21:22

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Edit:
folgendes ist quatsch

schau mal hier:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x_j}f(x)=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_j}\|x-v\|^2\cdot\|x\|^2+\frac{1}{2}\|x-v\|^2\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}\|x\|^2 \end{eqnarray*}$

nun an die kettenregel denken....

$\begin{eqnarray*} \|x-v\|^2\frac{\partial}{\partial x_j}[x-v]\cdot\|x\|^2+\|x-v\|^2\frac{\partial}{\partial x_j}[x]\cdot\|x\| \end{eqnarray*}$

16.12.2007, 22:26

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent
schau mal hier:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x_j}f(x)=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_j}\|x-v\|^2\cdot\|x\|^2+\frac{1}{2}\|x-v\|^2\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}\|x\|^2 \end{eqnarray*}$

nun an die kettenregel denken....

$\begin{eqnarray*} \|x-v\|^2\frac{\partial}{\partial x_j}[x-v]\cdot\|x\|^2+\|x-v\|^2\frac{\partial}{\partial x_j}[x]\cdot\|x\| \end{eqnarray*}$

sorry aber das scheint mir falsch zu sein da da noch ein äußeres produkt ist,...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_j}\|x-v\|^2\cdot\|x\|^2\neq\frac{1}{2}\|x-v\|^2\frac{\partial}{\partial x_j}[x-v]\cdot\|x\|^2 \end{eqnarray*}$
doch wohl eher:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_j}\|x-v\|^2\cdot\|x\|^2\overset{?}{=}\frac{1}{2}\|x\|^2\frac{\partial}{\partial x_j}\|x-v\|\|x-v\|=\frac{1}{2}\|x\|^2\left(\|x-v\|\frac{\partial}{\partial x_j}\|x-v\|+\|x-v\|\frac{\partial}{\partial x_j}\|x-v\|\right) \end{eqnarray*}$
und dann die kettenregel:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\frac{1}{2}\|x\|^2\left(\|x-v\|\|\frac{\partial}{\partial x_j}x-\frac{\partial}{\partial x_j}v\|+\|x-v\|\|\frac{\partial}{\partial x_j}x-\frac{\partial}{\partial x_j}v\|\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\|x\|^2\left(2\cdot\|x-v\|\|\frac{\partial}{\partial x_j}x-\frac{\partial}{\partial x_j}v\|\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\|x\|^2\left(2\cdot\|x-v\|\|\frac{\partial}{\partial x_j}x-0\|\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\|x\|^2\|x-v\| \end{eqnarray*}$

oder habe ich gerade einen denkfehler???
gruß

17.12.2007, 03:39

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, das Orakel hatte doch recht Big Laugh

hier der weg:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_j}=\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{1}{2}\|x-v\|^2\|x\|^2=\frac{1}{2}\|x\|^2\frac{\partial}{\partial x_j}\|x-v\|^2+\frac{1}{2}\|x-v\|^2\frac{\partial}{\partial x_j}\|x\|^2 \end{eqnarray*}$
betrachtet wir die summanden einzeln:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\|x-v\|^2\frac{\partial}{\partial x_j}\|x\|^2=\frac{1}{2}\|x-v\|^22x_j\overset{*}{=}\|x-v\|^2x_j \end{eqnarray*}$
und:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\|x\|^2\frac{\partial}{\partial x_j}\|x-v\|^2\overset{*}{=}\frac{1}{2}\|x\|^2\frac{\partial}{\partial x_j}(x_j-v_j)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\|x\|^2\frac{\partial}{\partial x_j}(x_j^2-2x_jv_j+v_j^2)=\frac{1}{2}\|x\|^2\left(\frac{\partial x_j^2}{\partial x_j}-\frac{\partial 2x_jv_j}{\partial x_j}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\|x\|^2(2x_j-2v_j)=\|x\|^2(x_j-v_j) \end{eqnarray*}$
summa summarum:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_j}=\|x\|^2(x_j-v_j)+\|x-v\|^2x_j \end{eqnarray*}$

(zu den $\begin{eqnarray*} \overset{*}{=} \end{eqnarray*}$ , die restlichen summanden fallen weg),..

ok,. das währ schon mal erledigt, hat zwar ein bissl gedauert aber das passt schon mal Big Laugh

danke leutz

17.12.2007, 13:11

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid für den mist, du hast natürlich recht, ich schrieb dort blödsinniges....

hier dann noch die korrektur:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_j}=...=\frac{1}{2}\|x\|^2\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}\underbrace{\sum\limits_{k=1}^{n}(x_k-v_k)^2}_{=\|x-v\|^2}+\frac{1}{2}\|x-v\|^2\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}\underbrace{\sum\limits_{k=1}^{n}x_k^2}_{\|x\|^2} \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Differential

Verwandte Themen