Vollständige Induktion von (2n-1)³>3n-4

16.12.2007, 17:40

rederic

Vollständige Induktion von (2n-1)³>3n-4

Moinsen,

ich hoffe ich bin hier richtig.
Die folgende Aufgabe wirft bei mir einige Fragen auf:

(2n-1)³>3n-4 $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Der IA ist schnell gemacht nach der "Erweiterung" mit n+1 ergibt sich meiner ansicht nach folgender Term:

(2n+1)³ > 3n-1

nun meine Frage, wie gehe ich vor?
Ich habe (2n+1)³ und (2n-1)³ ausmultipliziert:

(2n+1)³ = 8n³+12n²+6n+1

(2n-1)³ = 8n³-12n²+6n-1

Kann ich nach IV sagen:

(2n-1)³+24n²+2 > 3n-1

Und wenn das richtig ist, bin ich dann fertig? Denn die Linke seite ist für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ja auf jeden Fall größer als die Rechte, oder irr ich mich da?

Schon mal vielen vielen Dank

Gruß eric

16.12.2007, 17:50

therisen

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Nach IV ist $\begin{eqnarray*} (2n-1)^3-3n+4=8n^3-12n^2+3n+3>0 \end{eqnarray*}$ .

Induktionsschluss: $\begin{eqnarray*} (2n+1)^3-3n+1=8n^3+12n^2+3n+2\geq8n^3-12n^2+3n+3>0 \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

16.12.2007, 23:27

rederic

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Sicher das der IS richtig is?
Für n=0 scheint er nicht zu gelten? oder ist das in ordnung?
Auch wenn das jetzt doof klingt aber wir arbeiten nur mit äquivalenten Umformungen (als Maschbauer is man nunmal doof) könnt das einer kurz mit einer solchen verdeutlichen? Gott

Vielen dank für euer bemühen smile

16.12.2007, 23:33

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Zitat:

Original von rederic
Sicher das der IS richtig is?
Für n=0 scheint er nicht zu gelten?

Gut erkannt! Die Konsequenz ist, dass der Induktionsbeweis an sich so nur für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ funktioniert, mit Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ .

Der Fall $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ kann aber ja extra untersucht werden, ist auch kein Beinbruch - aber Ordnung muss sein.

Allerdings stellt sich die Frage: Wieso hier überhaupt Induktion? Für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ kann man mit $\begin{eqnarray*} n=m+1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} m\geq 0 \end{eqnarray*}$ sofort abschätzen

$\begin{eqnarray*} (2n-1)^3-3n+4 = (2m+1)^3-3m+1 = 8m^3+12m^2+3m+2\geq 2 > 0 \end{eqnarray*}$ ,

fertig.

17.12.2007, 09:02

rederic

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Induktion wegen der Aufgabenstellung....hört sich doof an is aber so :|

Ist denn mein obiger Ansatz Falsch?
Wenn ja wieso?

Gruß eric

17.12.2007, 13:13

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Ist irgendwas an meiner letzten Antwort unklar? Deine Nachfrage klingt so, als hättest du sie schlichtweg überhaupt nicht gelesen...

Ich hab doch bestätigt, dass der Induktionsbeweis Ok ist, aber eben nur für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ . Muss man denn alles mehrfach wiederholen?

17.12.2007, 22:06

rederic

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nene,
das ist sicher ein Missverständniss...
hatte mir schon gedacht das dieser Schluss nur für n>=1 gilt,
meine Frage bezog sich auf meinen Ansatz im ersten Teil des Threads....
Das hat sich aber mittlerweile erledigt :|
VIELEN VIELEN DANK

Gruß eric

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