Unabhängigkeit zweier Zufallsvariabeln

16.12.2007, 22:37	peter22	Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängigkeit zweier Zufallsvariabeln hi wie kann ich das beweisen? X und Y sind 2 von einander unabhängige Zufallsvariabeln die N(0,1) verteilt sind und U=aX+bY V=cX+dY wo ad-bc ungleich 0! beweisen Sie, dass U und V nur dann unabhängig sind, wenn ac+bd=0 Und eine weitere aufgabe bereitet mir probleme: 1000 soldaten werden untersucht um festzustellen ob ein seefehler vorliegt. Es wird erwartet dass mit der wk: p unabhängig von einander eine Gruen-rot farbblindheit vorliegt. wenn n soldaten bereits untersucht wurden, sind X rot-gruen seefehler festgestellt worden. Y sei die anzahl aller gruen-rot blinden (i) bestimme f x\|y : wie lautet die regressionsgerade von X in zusammenhang zu Y? (ii) bestimme die regressionsgerade von Y in zuammenhang zu X und Corr(X,Y) [tipp: X unabhängig von Y-X. (i) benutzen Sie die Definition der bedingten Wk ] diese 2 aufgaben bekomm ich nich auf die reihe.. wenn jemand sich die Muehe machen könnte die mir ausfuehrlich zu erklären oder zumindest (deutlich) ansatzweise zu helfen, wäre ich sehr dankbar..
11.01.2008, 19:58	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Besser spät als nie (zu Übungszwecken habe ich die erste Aufgabe gelöst): Nach Voraussetzung ist die Abbildung $\begin{eqnarray} g:\mathbb R^2\to\mathbb R^2, (x_1,x_2)\mapsto (ax_1+bx_2,cx_1+dx_2) \end{eqnarray}$ ein Diffeomorphismus mit nicht verschwindender Jacobideterminante $\begin{eqnarray} \det Dg(x_1,x_2)=ad-bc\neq0 \end{eqnarray}$ . Die Umkehrabbildung ist gegeben durch $\begin{eqnarray} g^{-1}(y_1,y_2)=\frac1{ad-bc}(dx_1-bx_2,ax_2-cx_1) \end{eqnarray}$ . Bezeichnet $\begin{eqnarray} f_{U,V} \end{eqnarray}$ die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , so gilt nach dem Transformationssatz $\begin{eqnarray} f_{U,V}(y_1,y_2)&=&\frac1{2\pi}\exp\left(-\frac1{2(ad-bc)^2}\left( dy_1^2-2bdy_1y_2+b^2y_2^2+a^2y_2^2-2acy_1x_2+c^2y_1^2\right) \right)\cdot\frac1{\|ad-bc\|}\\&=&\frac1{2\pi}\|\det\Sigma\|^{-\frac12}\exp\left(-\frac12(y_1,y_2)\Sigma^{-1}(y_1,y_2)^T \right)\sim\mathcal{N}((0,0),\Sigma) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Sigma^{-1}=\frac1{(ad-bc)^2}\begin{pmatrix}c^2+d^2 & -(ac+bd) \\ -(ac+bd) & a^2+b^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das zeigt: $\begin{eqnarray} U, V \end{eqnarray}$ sind genau dann unabhängig, wenn $\begin{eqnarray} ac+bd=0 \end{eqnarray}$ . Gruß, therisen

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