Irrationale n-te Wurzel

17.12.2007, 14:15

maddi

Irrationale n-te Wurzel

Hey wir haben zu morgen eine Aufgabe aufbekommen,wo unser Lehrer gesagt hat,dass wenn wir die rausbekommen einige gute vermerkungen bekommen...So nun weiß ich aber ehrlich gesagt nicht wie ich anfangen soll..Die Aufgabe lautet:
Irrationale n-te Wurzel
- Beweise, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ keine rationale Zahl ist.
Anleitung: Nimm an, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ doch eine rationale Zahl sei. Schreibe $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ dann als gekürzten Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{m}{n} \end{eqnarray*}$ . Folgere daraus $\begin{eqnarray*} \frac{m^3}{n^3} = 2 \end{eqnarray*}$ und zeige, dass diese Gleichung auf einen Widerspruch führt.

Könnt ihr mir einen Tipp geben,wie ich anfangen soll? Wie soll ich $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ als gekürzten Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{m^3}{n^3} = 2 \end{eqnarray*}$ schreiben?? verwirrt

17.12.2007, 14:17

tigerbine

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RE: Irrationale n-te Wurzel
Den Tipp wie Du anfangen sollst, hat dir dein Lehrer doch schon gegeben. Nimm an dass die Zahl rational ist, d.h. man kann die als Bruch schreiben. Dann darf man ferner annehmen, dass man mit der m/n Schreibweise den vollständig gekürzten Bruch meint. m und n sind also teilerfremd.

17.12.2007, 14:17

therisen

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RE: Irrationale n-te Wurzel

Zitat:

Original von maddi
Könnt ihr mir einen Tipp geben,wie ich anfangen soll?

Lol, der halbe Lösungsweg ist doch schon vorgegeben!

Zitat:

Original von maddi
Wie soll ich $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ als gekürzten Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{m^3}{n^3} = 2 \end{eqnarray*}$ schreiben?? verwirrt

Das nennt man einen indirekten Beweis.

17.12.2007, 14:27

maddi

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iwie schein ich aufm schluch zu stehen..versteh ich nicht:/ was kommt denn beim bruch dahin?

17.12.2007, 19:33

maddi

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bitte kann mir das nochmal wer genau erläutern,wieso das so ist???

17.12.2007, 20:04

tigerbine

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Ich vermisse deutlich deinen Einsatz bei der Aufgabe. Die Boardsuche scheinst Du nämlich auch nicht bemüht zu haben.

17.12.2007, 20:28

maddi

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was ist m überhaupt? also n ist in dem fall die 3... aber m? vielleicht komm ich dann weiter:/

die Suchfunktion habe ich benutzt, jedoch versteh ich es auch nicht bei dem anderen Beitrag...Also wieso m und n gerade sein müssen?

17.12.2007, 20:31

tigerbine

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m und n sind ganze Zahlen. Den genauen Wert kennen wir nicht. Wir wissen nur, dass sie teilerfremd sind und n ungleich 0 ist.

17.12.2007, 21:12

maddi

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ich hab jetzt n beweis aufgeschrieben, dass einzige was ich jedoch nicht verstehe ist, wenn ich weiß dass 3 der Teiler von $\begin{eqnarray*} m^{3} \end{eqnarray*}$ ist, wieso ist dann m gleich ne gerade Zahl?

17.12.2007, 21:18

tigerbine

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Zitat:

ich hab jetzt n beweis aufgeschrieben

Wo denn?

Zitat:

wenn ich weiß dass 3 der Teiler von $\begin{eqnarray*} m^{3} \end{eqnarray*}$ ist

warum sollte das denn der Fall sein?

17.12.2007, 21:26

maddi

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Also:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} = \frac{m}{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2= \frac{m^3}{n^3} / *n^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2n^{3} = m^{3} \end{eqnarray*}$

dann ist m das doppelte von n -> 2 ist der Teiler von $\begin{eqnarray*} m^{3} \end{eqnarray*}$ -> m gerade Zahl

ist das soweit richtig??? aber wieso ist m ne gerade Zahl?
Ich habe mir da nur den Beweis von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ angeschaut und hier angewendet..

17.12.2007, 21:32

therisen

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Eine Zahl ist genau dann gerade, wenn sie durch 2 teilbar ist.

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