Beweis, dass die Normale senkrecht auf der Tangenten steht.

24.04.2005, 15:51

Toxman

Beweis, dass die Normale senkrecht auf der Tangenten steht.

Ich soll für ein Referat eine Gleichung für die Normale an einen Punkt einer Funktion im R² angeben. Jetzt würd ich die auch gern beweisen...

Mit ein bischen malen, bin ich dann auf die Idee gekommen, dass gelten müsste, das [angenommen n ist die Steigung der Tangente) gelten müsste:
$\begin{eqnarray*} arctan(n)-arctan(-\frac{1}{n})=90 \end{eqnarray*}$ .

Mein Problem ist jetzt nur leider, dass ich keine Ahnung habe, wie man da weiterrechnen kann, da ich da keine Rechengesetze kenne unglücklich

Kann mir da jemand weiterhelfen?

EDIT by therisen: Latex verbessert.
Edit: Da warst du aber nicht schneller als ich Augenzwinkern

24.04.2005, 16:15

Leopold

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RE: Beweis, dass die Normale senkrecht auf der Tangenten steht.
Was verstehst du unter

Zitat:

Original von Toxman
... einer Funktion im R² ...

24.04.2005, 19:33

Toxman

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Ich habe damit ein Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gemeint.

25.04.2005, 10:34

Jan

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Mit dem Ansatz kann ich dir auch nicht weiterhelfen, aber es geht anders relativ einfach:

Der Grundgedanke (auch bei dir) ist ja, dass für die beiden Steigungswinkel gelten soll:
$\begin{eqnarray*} \alpha_1 - \alpha_2 = 90° \end{eqnarray*}$

Die Steigung ist der Tangens des Steigunswinkels, also müssen die Steigungen sein:
$\begin{eqnarray*} m_1 = tan(\alpha_1) = \frac{sin(\alpha_1)}{cos(\alpha_1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_2 = tan(90° + \alpha_1) = \frac{sin(90° + \alpha_1)}{cos(90° + \alpha_1)} \end{eqnarray*}$
Jetzt benutzt du die Beziehung $\begin{eqnarray*} sin(90° - \alpha) = cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ und bekommst so:
$\begin{eqnarray*} m_2 = \frac{cos(-\alpha_1)}{sin(-\alpha_1)} \end{eqnarray*}$
Jetzt noch die Symmetrie der Sinus- und Cosinusfunktion ausnutzen, und du hast:
$\begin{eqnarray*} m_2 = \frac{cos(\alpha_1)}{-sin(\alpha_1)} = -\frac{cos(\alpha_1)}{sin(\alpha_1)} \end{eqnarray*}$
Das ist dann wie gewünscht der negative Kehrwert von $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß,
Jan

25.04.2005, 11:16

Egal

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Hab mal noch im grossen dicken Bronstein nachgeschlagen. Da stehen zwar Additionssätze für den arctan allerdings nur für $\begin{eqnarray*} xy\not=-1 \end{eqnarray*}$ auf gut deutsch die kann man in diesem Beispiel nicht verwenden.

25.04.2005, 11:31

brunsi

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RE: Beweis, dass die Normale senkrecht auf der Tangenten steht.
nimm dir doch einfach mal eine einfache funktion so f(x)=x² und dann bildest einfach mal die Tangente an irgendeinen Punkt des Graphen der Funktion und dann versuche das doch mittels der Differentialrechnung mal hinzubekommen.

25.04.2005, 11:43

Jan

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RE: Beweis, dass die Normale senkrecht auf der Tangenten steht.

Zitat:

Original von brunsi
nimm dir doch einfach mal eine einfache funktion so f(x)=x² und dann bildest einfach mal die Tangente an irgendeinen Punkt des Graphen der Funktion und dann versuche das doch mittels der Differentialrechnung mal hinzubekommen.

dann hättest du das für ein beispiel nachgerechnet, aber er sucht ja einen allgemeinen beweis!

25.04.2005, 11:52

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Falls dir ein wenig Vektorrechnung bekannt ist, brauchst du dich doch nicht so rumzuquälen, mit arctan u.ä.:

Im Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,f(x_0)) \end{eqnarray*}$ hast du den Tangentenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{t}=\begin{pmatrix}1\\ f'(x_0)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und suchst jetzt einen Normalenvektor dazu, also einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{n}\neq \vec{0} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec{t}\cdot\vec{n}=0 \end{eqnarray*}$ .

Und mit diesem $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ sollte das Aufstellen der Geradengleichung für die Normale dann nicht mehr so schwer sein.

25.04.2005, 17:03

Toxman

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Vielen Dank an alle, auf die Idee ist heute noch ein Freund von mir gekommen smile

Der Weg dann:
$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{t}=\begin{pmatrix}1\\ m\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\ n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{t}*\vec{n}=1+mn=0 \rightarrow n=-\frac{1}{m} = -\frac{1}{f'(x_0)} \end{eqnarray*}$
Damit ist n dann Steigung der Normalen.
Setzt man dann für die Normale $\begin{eqnarray*} n(x)=nx+d \end{eqnarray*}$ so gilt:
$\begin{eqnarray*} d=f(x_0)-n*x_0 \end{eqnarray*}$ und insgesamt:
$\begin{eqnarray*} n(x)=n*x+f(x_0)-n*x_0 \end{eqnarray*}$ oder ausgeklammert und mit eingesetztem n:
$\begin{eqnarray*} t(x)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)+f(x_0) \end{eqnarray*}$

Herleitung der Formel Gleichung Tangente Normale

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