Tangente durch Punkt

17.12.2007, 18:03

Till M.

Tangente durch Punkt

hi,
ich soll eine Tangenta an der fkt f(x)=x^2 durch den Punkt(-1;-1) berechnen. Wie mache ich das?

$\begin{eqnarray*} -1=2x^2 +n \end{eqnarray*}$

kann ich so erstmal n der Tangente berrechnen? Dann wäre dann -3

17.12.2007, 18:10

klarsoweit

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RE: Tangente durch Punkt
Wie kommst du auf diese tolle Gleichung? Welche Methoden kennst du denn für die Aufstellung der Tangentengleichung?

17.12.2007, 18:11

Till M.

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na

y=mx+n

f'(x) =2x

und dann hab ich für m das 2x eingesetz

17.12.2007, 18:20

klarsoweit

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So geht es nicht. Du mußt erst in f'(x) =2x die Stelle x=-1 einsetzen. Das liefert die Steigung m der Tangenten.

17.12.2007, 18:41

Till M.

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na aber der Punkt liegt doch gar nicht auf der Funktion. SO würde ich doch den Anstieg der unktion an der Stelle ausrechnen oder?

17.12.2007, 19:08

klarsoweit

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Ach herrje, habe ich glatt übersehen. Hammer

Also ok: wir nehmen y=mx+n als Tangentengleichung. Gesucht ist die Stelle x_0, so daß y=mx+n Tangente an den Punkt (x_0; f(x_0)) ist und obendrein durch (-1; -1) läuft. Die Steigung m erhalten wir aus der Ableitung f'(x)=2x. Dann ist $\begin{eqnarray*} m = f'(x_0)=2x_0 \end{eqnarray*}$ . Das einsetzen liefert:

$\begin{eqnarray*} y(x) = 2x_0 \cdot x + n \end{eqnarray*}$

Jetzt muß y(-1)=-1 sein. Daraus erhältst du das n.

17.12.2007, 19:28

Till M.

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hab ich das nicht gemacht? Also ich bin auf -3 gekommen.

17.12.2007, 19:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von Till M.
$\begin{eqnarray*} -1=2x^2 +n \end{eqnarray*}$

Die Gleichung ist in dieser Form falsch. So lautet die Tangentengleichung:

$\begin{eqnarray*} y(x) = 2x_0 \cdot x + n \end{eqnarray*}$

Du mußt dabei unterscheiden zwischen x als Funktionsvariable für die (Gerade) Tangente und der Stelle x_0, wo die Gerade eben die Tangente an f(x) ist. Dadurch wird die Steigung der Tangente auf 2x_0 festgelegt. Dieses x_0 kennen wir aber noch nicht. Wenn du also y(-1) berechnest, hast du also:

$\begin{eqnarray*} -1 = y(-1) = 2x_0 \cdot (-1) + n \end{eqnarray*}$

Desweiteren ist $\begin{eqnarray*} y(x_0) = f(x_0) \end{eqnarray*}$

Demzufolge hast du 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.

17.12.2007, 20:04

Till M.

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hmm...
ich habe jetz:

$\begin{eqnarray*} -1=2*(-1-\sqrt{1+n})*(-1)+n \end{eqnarray*}$

aber irgendwie spuckt der Rechner keine Lösung aus...

17.12.2007, 20:05

Till M.

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das - vor der wurzel ist +!

18.12.2007, 09:15

klarsoweit

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Schade, daß du nicht dazu schreibst, wie du die Gleichung hergeleitet hast.

Aus $\begin{eqnarray*} y(x_0) = f(x_0) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} 2x_0 \cdot x_0 + n = x_0^2 \end{eqnarray*}$

Das kannst du nach n auflösen und in $\begin{eqnarray*} -1 = -2x_0 + n \end{eqnarray*}$ einsetzen.

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