Äquivalenzrelation

18.12.2007, 01:27	Libts	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation Ich komme bei folgender Aufgabe einfach nicht auf eine Lösung: Geben Sie eine Äquivalenzrelation auf $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ ohne $\begin{eqnarray} \{ 0 \} \end{eqnarray}$ an, welche genau die folgenden vier Äquivalenzklassen hat: Positive gerade, negative gerade, positive ungerade und negative ungerade Zahlen. Danke für eine Einsichtnahme, Libts -->Wäre auch noch froh zu wissen, wie ich bei Latex zu einem \ kommen kann.
18.12.2007, 07:00	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dann fangen wir mal an: Was definiert eine Äquivalenzrelation ? Welche Bedingungen muss es erfüllen ? Welche haste hier gegeben ?
18.12.2007, 13:26	Libts	Auf diesen Beitrag antworten »
... Eine Äquivalenzrelation muss refl. trans. und symm. sein (diese Eigenschaften kenne ich). Bei der gegebenen Relation finde ich die zwei binären variablen nicht. Libts
18.12.2007, 13:37	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm ... Binäre Variable ? Wofür brauchst du das ? Kenn ich nur aus der Informatik ... Weiss zwar ned wie du das einbauen willst, aber Heaviside wäre ja zum Beispiel sowas...
18.12.2007, 14:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede Äquivalenzrelation zerlegt eine Menge in Äquivalenzklassen. ("Zerlegen" heißt hier: Die Vereinigung der Äquivalenzklassen ergibt die gesamte Menge. Je zwei Äquivalenzklassen sind disjunkt zueinander.) Ist umgekehrt eine Zerlegung einer Menge gegeben, so entsteht daraus sofort eine Äquivalenzrelation mit den Zerlegungsmengen als Äquivalenzklassen, indem man zwei Elemente dann und nur dann als äquivalent definiert, wenn sie derselben Zerlegungsmenge angehören. Hier hat man $\begin{eqnarray} G^{+} = \left\{ \left. x \in \mathbb{Z} \, \right\| \, x>0, \ x \ \text{gerade} \right\} \, , \ \ G^{-} = \left\{ \left. x \in \mathbb{Z} \, \right\| \, x<0, \ x \ \text{gerade} \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U^{+} = \left\{ \left. x \in \mathbb{Z} \, \right\| \, x>0, \ x \ \text{ungerade} \right\} \, , \ \ U^{-} = \left\{ \left. x \in \mathbb{Z} \, \right\| \, x<0, \ x \ \text{ungerade} \right\} \end{eqnarray}$ Diese Mengen sind paarweise disjunkt und bilden eine Zerlegung der Menge $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}^{} = \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}^{} = G^{+} \cup G^{-} \cup U^{+} \cup U^{-} \end{eqnarray}$ Damit wäre die formale Lösung der Aufgabe die folgende Definition für $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb{Z}^{} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x \sim y \ \ \Leftrightarrow \ \ x,y \ \ \mbox{gehören derselben der Mengen} \ G^{+}, G^{-}, U^{+}, U^{-} \ \ \mbox{an} \end{eqnarray}$ Das ist die Lösung der Aufgabe, aber wahrscheinlich nicht die Lösung, die vom Aufgabensteller erwartet wird. Wenn du die Äquivalenz anders beschreiben willst, so ein paar Hinweise: 1. Verwende die Differenz in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}^{} \end{eqnarray}$ sowie das Produkt in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}^{} \end{eqnarray}$ . 2. Verwende die Relationen $\begin{eqnarray} \text{"ist gerade"} \end{eqnarray}$ und die Größer-Relation $\begin{eqnarray} > \end{eqnarray*}$ . Kombiniere 1. und 2. geschickt.
18.12.2007, 14:31	Libts	Auf diesen Beitrag antworten »
... Es ist eine Aufgabe in mathematische Grundlagen der Informatik; wir nennen eine Relation mit zwei Unbekannten eine binäre Relation. Mir fehlt bei deiner vorgegebenen Relation die Form $\begin{eqnarray} R = \{ (x,y) \in M \times M : ...x... = ...y... \} \end{eqnarray}$ . Vor allem würde mich interessieren, wie ich zu den vier ausgesuchten Äquivalenzklassen komme; was ist da genau gefragt, um dort richtig zu fahren. Libts
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18.12.2007, 14:32	Libts	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ... Antwort zu spät abgeschickt. Libts
18.12.2007, 14:46	Libts	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ... Ich weiss nicht, wie ich diese Gegebenheiten in die oben beschriebene Form bringe; denn dann müssen ja alle Werte je nach dem passen. Oder darf ich auch dort verschiedene Fälle unterscheiden? Libts

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