Vektorraum Endomprhismus

18.12.2007, 12:44

hxh

Vektorraum Endomprhismus

Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum K-Vektorraum und sei $\begin{eqnarray*} \phi: V \rightarrow V \end{eqnarray*}$ ein Endomorphismus von V. Zeigen sie dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ genau dann injektiv ist, wenn $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ surjektiv ist .

Also ist doch zu zeigen phi surjektiv äquivalent phi injektiv.

Was ich weiß ist dass wenn phi surjektiv ist , dann ist Bild(phi) = dim V. Demnach wäre der Kern(phi) = {0}

Mal so gesagt: phi surjektiv <=> Bild(phi)=dim V <=> Kern(phi)={0} <=> phi injektiv

kann ich das auch noch durch die eigenschaften der linearen Abbildung zeigen.

phi inj. $\begin{eqnarray*} \phi(0)=0 \end{eqnarray*}$ , wenn nur der NUllvektor auf den NUllvektor abgebildet wird, folgt ja Kern(phi)={0} also der Kern hat die Nulldimension, folglich muss das Bild(phi)=dim V sein. Wobei ich wieder dabei wäre, dass es surjektiv ist.

Reicht das oder hab ich was falsch verstanden? verwirrt

18.12.2007, 15:28

therisen

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Kennst du den Dimensionssatz $\begin{eqnarray*} \dim V = \dim\ker\phi+\dim\mathrm{im}\phi \end{eqnarray*}$ ?

18.12.2007, 15:31

hxh

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ja schon, wo liegt mein fehler ?

18.12.2007, 15:35

therisen

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RE: Vektorraum Endomprhismus

Zitat:

Original von hxh
Was ich weiß ist dass wenn phi surjektiv ist , dann ist Bild(phi) = dim V. Demnach wäre der Kern(phi) = {0}

Erstens ist das Bild einer Abbildung eine Menge und zweitens fehlt die Begründung für diesen Schluss (das ist gerade der Dimensionssatz).

18.12.2007, 18:18

hxh

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Ok. Wenn phi injektiv ist, dann ist der Kern(phi)={0}, da ich den Nullvektor auf den Nullvektor abbilde.
Nach Dimensionsformel ist dann (Kern(phi)={0}) + Bild(phi) = dim V . Die Folgerung ist dann ja dass Bild(phi) = dim V ist, wegen dem Endomorphismus. Man bildet ja von V nach V ab. Also die Dimension ändert sich doch nicht.
Ich weiß nicht so genau wie ich das anders begründen könnte verwirrt

18.12.2007, 18:21

therisen

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Die Begründung passt doch. Man kann es auch kürzer formulieren.

18.12.2007, 18:25

hxh

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ja da hast du recht habs halt mal ganz ausfürhlich gemacht , danke Freude

18.12.2007, 19:16

hxh

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Hab noch ein ähnliches Problem wo ich grade nicht weiter komme. DIesmal habe ich ne Abbildung von nem Vektorraum V $\begin{eqnarray*} \phi: V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ . phi ist wieder injektiv und ich soll zeigen dim(Bild(phi)) = dim (V)

Wie gesagt wenn phi injektiv Kern(phi)={0} ist dann ist nach Dimensionsformel doch Bild(phi) = dim W. Aber was fehlt mir um zu zeigen dim(Bild(phi)) = dim (V) ? Obwohl man müsste ja in betrachtung ziehen, dass V und W unterschiedliche Dimensionen haben ?

18.12.2007, 19:58

therisen

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Zitat:

Original von hxh
Wie gesagt wenn phi injektiv Kern(phi)={0} ist dann ist nach Dimensionsformel doch Bild(phi) = dim W.

Nein, schau dir den Dimensionssatz nochmal genau an.

18.12.2007, 21:18

hxh

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ja das sollte Bild(phi) = dim V sein oder ? aber trotzdem häng ich irgendwie grade

18.12.2007, 22:44

therisen

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Sei $\begin{eqnarray*} \phi:V\to W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \dim V = \dim\ker\phi+\dim\mathrm{im}\phi \end{eqnarray*}$

Was passiert, wenn $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ injektiv ist?

18.12.2007, 22:57

hxh

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Der Nullvektor von V wird auf den Nullvektor von W abgebildet sonst keine anderen. Darum ist Kern(phi)={0}. Das Bild(phi) ist ein Untervektorraum von W, da ich ja nicht weiß ob der ganze Zielraum eingenommen wird sprich nirgends steht was von surjekitv.

Die Dimenson des Kern(phi) ist doch trotzdem die Nulldimension? Nach der Formel müsste dann doch dim Bild(phi) = dim V sein?

18.12.2007, 23:02

therisen

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Ja, das wolltest du doch zeigen.

19.12.2007, 00:31

hxh

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ah hab gar nicht bemerkt, dass es das schon war , kam mir etwas kurz vor vielleicht hab ich deswegen darauf rumgehackt geschockt