Stammfunktion von tan^2(x)

18.12.2007, 13:43

Rare676

Stammfunktion von tan^2(x)

Die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x)= \tan^2(x) \end{eqnarray*}$ ist gesucht.

Also:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\tan^2(x)~dx \end{eqnarray*}$

Substitution:

$\begin{eqnarray*} u=\tan(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=\frac{1}{\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~u^2 \cdot \cos^2(x)~du \end{eqnarray*}$

Umschreiben von $\begin{eqnarray*} \cos^2(x) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)}{\cos(x)}=u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=u^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-\cos^2(x)}{cos^2(x)}=u^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)=\frac{1}{u^2+1} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{u^2}{u^2+1}~du \end{eqnarray*}$

Polynomdivision bringt:

$\begin{eqnarray*} \frac{u^2}{u^2+1}=1-\frac{1}{u^2+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~1-\frac{1}{u^2+1}~du \end{eqnarray*}$

Integral aufspalten:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~1-\frac{1}{u^2+1}~du=\int_{}^{}~1~du~-\int_{}^{}~\frac{1}{u^2+1}~du=[u-\arctan(u)+C] \end{eqnarray*}$

Resubstitution:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow F(x)=\tan(x)-x+C \end{eqnarray*}$

Kann man das so schreiben? Habt ihr Ergänzungen?
Kennt ihr vielleicht sogar einen schnelleren Weg?

Danke schon mal fürs Anschauen.

18.12.2007, 13:59

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Weg ist schon richtig. Ich würde allerdings den Weg direkt über die Ableitung des Tangens gehen. Die ist nämlich bekanntermaßen

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d} ( \tan{x} )}{\mathrm{d}x} = 1 + \tan^2 x \end{eqnarray*}$

Umstellen und unbestimmte Integration zeigt:

$\begin{eqnarray*} \int~\tan^2 x~\mathrm{d}x = \int \left( \frac{\mathrm{d} ( \tan{x} )}{\mathrm{d}x} - 1 \right)~\mathrm{d}x = \int \mathrm{d} ( \tan{x} ) - \int \mathrm{d}x = \tan{x} - x \end{eqnarray*}$

Und, wenn's denn sein muß, kann man da auch noch ein $\begin{eqnarray*} +C \end{eqnarray*}$ anbringen.

Und noch etwas: Um den Integranden gehört eine Klammer, wenn er eine Summe ist.

18.12.2007, 14:06

Rare676

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold

Und noch etwas: Um den Integranden gehört eine Klammer, wenn er eine Summe ist.

Ja, aber ich wusste leider nicht, wie man so eine große Klammer macht. Die kleine Klammer sah doof aus Augenzwinkern