Wahrscheinlichkeits-Aufgabe

18.12.2007, 20:07

Caleb666

Wahrscheinlichkeits-Aufgabe

Hallo,

kämpfe gerade mit folgender Aufgabe:

Bei der Lotterie „Glücksspirale“ wurde 1971 die 7-stellige Losnummer für den Hauptge-winn dadurch ermittelt, dass aus einer Trommel mit 70 Kugeln, von denen je 7 die Ziffern 0 bis 9 trugen, nacheinander 7 Kugeln ohne Zurücklegen „gezogen“ wurden. Die Lose wurden vorher offen verkauft.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, den 1. Preis zu gewinnen, für die Losnummern
a) 3 333 333
b) 1 234 567
c) 1 231 231

Die Lösung zu a) ist

$\begin{eqnarray*} \frac{7*7*7*7*7*7*7}{ \begin{pmatrix} 70 \\ 7 \end{pmatrix} * 7!} \end{eqnarray*}$

Wie man auf 7*7*7*7*7*7*7 kommt ist mir klar, aber warum teilt man dies durch
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 70 \\ 7 \end{pmatrix} *7! \end{eqnarray*}$ und nicht bloß einfach durch
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 70 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es handelt sichdoch dabei um den Fall "ohne Wiederholung", "mit Reihenfolge", oder??

Vielen DANk!!!

19.12.2007, 09:02

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Zitat:

Original von Caleb666
Die Lösung zu a) ist

$\begin{eqnarray*} \frac{7*7*7*7*7*7*7}{ \begin{pmatrix} 70 \\ 7 \end{pmatrix} * 7!} \end{eqnarray*}$

Wie man auf 7*7*7*7*7*7*7 kommt ist mir klar

Mir nicht, denn die Lösung ist falsch - für b) wäre sie allerdings richtig! Also nehme ich mal an, du hast dich verschrieben...

Zunächst mal gemeinsame Betrachtungen für a) bis c):

Es handelt sich hier um einen Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ einer Ziehung von 7 aus 70 (zunächst) unterscheidbaren Kugeln mit Berücksichtigung der Reihenfolge. Da gibt es insgesamt

$\begin{eqnarray*} |\Omega| = \frac{70!}{(70-7)!} = \binom{70}{7}\cdot 7! \end{eqnarray*}$

Ziehungsergebnisse. Die Unterscheidbarkeit der 70 Kugeln kann man sich vielleicht durch die Gedankenstütze eines (unsichtbaren) Index an den Kugeln vorstellen:

$\begin{eqnarray*} 0_1, 0_2,\ldots, 0_7, 1_1, \ldots, 1_7, \ldots, 9_1, \ldots, 9_7 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt zu der Anzahl der "günstigen" Ziehungen, die wir für die Berechnung der Laplace-Wkt brauchen:

In b) hat man für die erste Ziffer, die 1 lauten soll, die Auswahl aus den 7 Kugeln $\begin{eqnarray*} 1_1,\ldots, 1_7 \end{eqnarray*}$ , macht also 7 Möglichkeiten. Für die zweite Ziffer, die 2 lauten soll, hat man entsprechend die Auswahl aus den 7 Kugeln $\begin{eqnarray*} 2_1,\ldots, 2_7 \end{eqnarray*}$ usw. ... Da alle 7 Ziffern der Losnummer 1234567 verschieden sind, hat man jeweils 7 Möglichkeiten an jeder Stelle, macht insgesamt die von dir (allerdings falscherweise für a)) angegebene Wkt

$\begin{eqnarray*} \frac{7^7}{\binom{70}{7}\cdot 7!} \end{eqnarray*}$ .

In a) läuft es anders, das kannst du dir jetzt mal selbst überlegen.

26.10.2009, 17:32

peterpan07

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Auch wenn dieses Thema alt ist, ich bearbeitet gerade eine identische Aufgabe und habe die Lösung auch in einem Stochastikbuch gefunden.
Dort heißt es, dass $\begin{eqnarray*} |\Omega| = 70!/63! \end{eqnarray*}$ ist.
Kann mir jemand sagen, wieso dieses so ist?

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