Grenzwert einer Reihe

19.12.2007, 10:52

Skalde

Grenzwert einer Reihe

Hallo zusammen!
Ich steh mal wieder auf dem Schlauch, oder eher: ich finde keinen Ansatz! Hoffentlich könnt ihr mir einen Schubs in die richtige Richtung geben smile

Also: Gegeben ist folgende Reihe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+...+\frac{2^{n-1}}{3^n}+... \end{eqnarray*}$

Und ich soll nun den Grenzwert angeben.

Hilft zwar nicht bei der Lösung, aber an sich könnte man statt dessen auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{2^{n-1}}{3^n} \end{eqnarray*}$ schreiben, oder?

Wie setze ich nun am besten an?

19.12.2007, 11:00

vektorraum

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RE: Grenzwert einer Reihe
Ja, du kannst die Reihe in der Form schreiben...

Schreibe einfach mal:

$\begin{eqnarray*} 2^{n-1}=2^n\cdot2^{-1} \end{eqnarray*}$

Weiterer Tipp: Geometrische Reihe.

19.12.2007, 11:11

Horst&Werner

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RE: Grenzwert einer Reihe
$\begin{eqnarray*} XXX \end{eqnarray*}$

und geometrische Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q},~|q|<1 \end{eqnarray*}$

Edit VR: Ich habe deine Lösungen gelöscht, da es nicht Sinn und Zweck des Matheboards ist, hier Komplettlösungen zu posten. Deshalb unterbinde ich das hier und habe das entfernt...

Die Tipps sind völlig ausreichend zur Lösung dieser Aufgabe.

19.12.2007, 11:31

Skalde

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Hmpf... Jetzt habe ich Horsts und Werners Lösung schon gesehen und sie auch soweit herleiten können, bis zu dem Punkt, wo ich q in die Formel für die Geometrische Reihe einsetzen muss...

Wir hatten ja die Form (jetzt mal ohne Zahlen) $\begin{eqnarray*} a_0 * \sum_{n=0}^\infty~q^n-a_0 \end{eqnarray*}$
, da in der Grundaufgabenstellung immer von n=1 ausgegangen wurde. Jetzt stellt sich für mich die Frage: Ist der ganze Part hinter dem Summenzeichen q, was ich ja in die geometrische Folge einsetzen muss, oder nur der Part $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ , also ohne das $\begin{eqnarray*} -a_0 \end{eqnarray*}$ ?

19.12.2007, 11:35

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Der letzte Ausdruck gehört nicht mit zur Reihe, sondern nur das $\begin{eqnarray*} \left(\cfrac{2}{3}\right)^n \end{eqnarray*}$ .

Schade, dass du die Lösung schon gesehen hast. Ich hoffe du hast die Schritte verstanden geschockt

19.12.2007, 11:37

Skalde

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Danke für die Info smile

Ich hoffe, ich hab's verstanden smile

Aber ich hab noch ein paar Aufgaben der Sorte vor mir, da wird es sich zeigen smile

Ich Bedanke mich schonmal für eure Hilfe... Sollte ich bei den nächsten Aufgaben wieder Probleme haben, setz ich sie einfach an den Thread hier ran smile

19.12.2007, 11:57

Skalde

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Aahhh, jetzt bin ich komplett aus dem Konzept:

Habe in den Teil hinter dem Gleicheitszeichen der Geometrischen Reihe mein Q eingetragen und das ganze ausgerechnet. Damit komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ , was nach meinem Erachten ja 3 ergibt. Jetzt war ich aber auch mal so frech, ein Programm zu bemühen, dass mir den Grenzwert dieser Folge ausgeben sollte. da kommt 1 raus... Wo liegt nun mein Fehler?

19.12.2007, 12:05

vektorraum

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Ja, 1 ist auch richtig. Leider sehe ich DEINE Rechenschritte nicht, sodass das Ergebnis nicht nachvollziehbar ist.

Poste deine Lösung.

19.12.2007, 12:15

Skalde

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Dann trag ich sie doch mal nach:

Wir waren bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty~(\frac{2}{3})^n-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Nach deiner Aussage ist $\begin{eqnarray*} q=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ , richtig?

Für die Geometrische Reihe gilt ja $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~q^n=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

Also habe ich eingefügt: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~q^n=\frac{1}{1-\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

Wonach bei mir folgte:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~q^n=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3 \end{eqnarray*}$

Nur... was sagt mir das jetzt, ausser dass ich bestimmt irgendwo nen Fehler drin habe...?

19.12.2007, 12:21

vektorraum

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Vielleicht schaust du mal etwas genauer hin:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty~\left(\frac{2}{3}\right)^n-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{2}{3}}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\cdot 3-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt?

19.12.2007, 12:23

Skalde

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Okay, jetzt seh ich's auch smile

Danke dir

19.12.2007, 12:31

Skalde

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Darf ich deine Geduld noch mal strapazieren?

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~(\frac{-1}{4})^n \end{eqnarray*}$

Hier habe ich das Problem, dass für jeden Schritt das Teilergebniss ja das vorzeichen wechselt.

Gut, die Aufgabe ist in sofern gnädig, dass sie mir mein q ja schon komplett vorgibt. Funktioniert es hierbei denn wirklich so einfach, dass ich das nur in die geometrische Folge einsetzen muss und damit $\begin{eqnarray*} \frac{4}{5} \end{eqnarray*}$ erhalte?

19.12.2007, 12:36

vektorraum

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Richtig!

Das darfst du, da $\begin{eqnarray*} |q|<1. \end{eqnarray*}$

Also ist es hier wirklich so einfach.

19.12.2007, 12:42

Skalde

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Juchuu, ein Lichtblick smile

Dafür kommt es jetzt dicker:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{1+2^n+3^n}{5^n} \end{eqnarray*}$

Das hoch n kann ich wegen der 1 ja leider nicht einfach rausziehen und den Bruch in Klammern hoch n setzen... Wenn das der fall wäre, wäre es ja auch wieder nur einsetzen und ausrechnen... Wie werde ich die 1 los?

Hoppla... Mit Blindheit geschlagen... 1hoch n bleibt 1,also kann ich es doch einfach rausziehen... Grrr, man sieht echt den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr!

19.12.2007, 12:47

vektorraum

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Also du verrenst dich da jetzt glaube ich...

$\begin{eqnarray*} (1^n+2^n+3^n)\neq(1+2+3)^n \end{eqnarray*}$

z.B. für n=2.

Vielmehr helfen dir elementare Kenntnisse der Bruchrechnung:

$\begin{eqnarray*} \cfrac{a+b}{c}=\cfrac{a}{c}+\cfrac{b}{c} \end{eqnarray*}$

19.12.2007, 12:58

Skalde

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Okay, stimmt! Mea Culpa!

Dann anders:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{5^n}+\frac{2^n}{5^n}+\frac{3^n}{5^n} \end{eqnarray*}$

Wenn mich nun mein Grundwissen in Bruchrechnung nicht täuscht, kann ich in den letzten beiden Brüchen das ^n kürzen, richtig?

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{5^n}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5} \end{eqnarray*}$

Die beiden letzten Brüche kann ich doch nun auch zu besseren Übersicht vor die Summe ziehen, richtig?

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{5^n} \end{eqnarray*}$

Bleibt das Problem in der Summe:

$\begin{eqnarray*} ...+\sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{5^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5^n} \end{eqnarray*}$ ist aber doch auch definiert als $\begin{eqnarray*} 5^{-n} \end{eqnarray*}$ , oder?

Kann ich denn, obwohl der Exponent negativ ist, die geometrische Folge anwenden?

19.12.2007, 13:24

Skalde

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Oder kann ich jetzt wiederum einfach ein ^n zu der 1 hinzufügen? n geht ja an sich nicht ins negative, und 1 hoch irgendwas bleibt nun mal 1... in dem Fall hätte ich dann ja $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{5})^n \end{eqnarray*}$ , was ich wiederum in die geometische Folge einsetzen kann...

19.12.2007, 13:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Skalde
Wenn mich nun mein Grundwissen in Bruchrechnung nicht täuscht, kann ich in den letzten beiden Brüchen das ^n kürzen, richtig?

Einfach genial diese Rechnung: $\begin{eqnarray*} 0,36 = \frac{9}{25} = \frac{3^2}{5^2} = \frac 3 5 = 0,6 \end{eqnarray*}$ . smile

Du solltest mal dein Grundwissen überprüfen. Augenzwinkern

19.12.2007, 16:38

Skalde

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Das ist ja das Problem: Wenn für mich die Lösung nicht ersichtlich ist, komme ich zwangsläufig zu kreativen aber falschen Ansätzen. Also, wie gehe ich das ursprüngliche Problem denn nun richtig an?

19.12.2007, 16:56

Skalde

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Gut, anderer Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{1+2^n+3^n}{5^n} = \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{5^n}+\frac{2^n}{5^n}+\frac{3^n}{5^n} = \sum_{n=0}^\infty~\frac{1^n}{5^n}+\frac{2^n}{5^n}+\frac{3^n}{5^n} = \sum_{n=0}^\infty~(\frac{1}{5})^n*(\frac{1+2+3}{1}) = 6 \sum_{n=0}^\infty~(\frac{1}{5})^n \end{eqnarray*}$

Bin ich jetzt auf dem richtigen Weg?

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

19.12.2007, 17:01

tmo

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nein das ist falsch.

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \frac{1^n}{5^n} \neq \frac{2^n}{5^n} \end{eqnarray*}$ !

viel mehr sollst du so fortfahren:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1^n}{5^n} + \frac{2^n}{5^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1^n}{5^n} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{5^n} \end{eqnarray*}$

19.12.2007, 17:06

Skalde

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Aber immerhin dass ich aus dem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5^n} \frac{1^n}{5^n} \end{eqnarray*}$ gemacht habe ist legitim?

19.12.2007, 17:07

tmo

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ja das gilt so.

19.12.2007, 17:13

Skalde

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Alles klar, hab es raus! Ergebniss soll ja nicht mitgeteilt werden, oder? Danke auf jeden Fall... Das nächste mal trenne ich es direkt in 3 einzelne Summen auf... Mensch, war das ein Eiertanz smile

19.12.2007, 17:24

tmo

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wenn der threadersteller die aufgabe gelöst hat, ist es sogar wünschenswert, dass er seine lösung hier präsentiert.

1. kann man so nochmal kontrollieren, ob sich auch kein fehler eingeschlichen hat und
2. können dann zukünftig Leute mit dem selben Problem per Boardsuche fündig werden.

19.12.2007, 17:36

Skalde

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Okay, in dem Fall alles nochmal in Reinschrift smile

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{1+2^n+3^n}{5^n} \end{eqnarray*}$

Zunächst den Bruch in einzelne Brücke aufteilen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{1^n}{5^n}+\frac{2^n}{5^n}+\frac{3^n}{5^n} \end{eqnarray*}$

Die große Summe in 3 Einzelsummen aufteilen und das ^n aus den Brüchen ziehen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~(\frac{1}{5})^n+\sum_{n=0}^\infty~(\frac{2}{5})^n+\sum_{n=0}^\infty~(\frac{3}{5})^n \end{eqnarray*}$

Dann nutzt man 3 mal die geometrische Reihe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{5}}+\frac{1}{1-\frac{2}{5}}+\frac{1}{1-\frac{3}{5}} \end{eqnarray*}$

Der Rest ist einfaches Bruchrechnen mit dem Ergebniss

$\begin{eqnarray*} \frac{65}{12} \end{eqnarray*}$

Hab's nachgerechnet, es stimmt smile

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