Kompositionen

19.12.2007, 10:11

Mulder

Kompositionen

Hallo,

Also, gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-x^2 , g(x)=exp(x) , h(x) =|x| , v(x)= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Logischerweise mit v ungleich 0

Nun soll ich die Komposition k(x) bilden: Ich weiß jetzt nicht, wie dieser Kringel in Latex geht (kann das jemand nebenbei erwähnen?), daher schreibe ich das mal so:

$\begin{eqnarray*} k(x) = g(v(f(h(x)))) \end{eqnarray*}$

Das sollten wir dann bilden und wenn möglich vererinfachen.

Heraus kam bei mir das hier:

$\begin{eqnarray*} k(x)=|-( \frac{1}{exp(x)})^2| \end{eqnarray*}$

Und vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} k(x)=exp(-2x) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Könnt ihr das so überblicken oder soll ich die einzelnen Rechenschritte nochmal komplett nieder schreiben?

19.12.2007, 10:20

klarsoweit

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RE: Kompositionen

Zitat:

Original von Mulder
Heraus kam bei mir das hier:

$\begin{eqnarray*} k(x)=|-( \frac{1}{exp(x)})^2| \end{eqnarray*}$

Leider falsch. Da g(x)=exp(x) die letzte anzuwendende Funktion ist, muß das Ergebnis k(x)= exp(irgendwas) lauten.

19.12.2007, 10:23

vektorraum

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RE: Kompositionen
Nebenbei:

Der Kringel geht mit

code:
1:	\circ

, also $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ .

Tipp für die Komposition: die Schreibweise von dir ist schon die hier am günstigste. Einfach stur einsetzen...

19.12.2007, 10:24

Mulder

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RE: Kompositionen
Hammer

Jetzt sehe ich den Fehler... Ich hab das falsch rum gemacht...

Ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} h(f(v(g(x)))) \end{eqnarray*}$ gebildet... Big Laugh

Aber ein gutes hat die Sache... ich soll in Aufgabenteil b k(x)=exp(-2x) als Komposition von f,g,v, und h darstellen. Das habe ich ja jetzt durch Zufall schon mal gelöst. Big Laugh

Edit: Ah, danke vektorraum...

19.12.2007, 10:27

vektorraum

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RE: Kompositionen
Da hat sich aber beim vereinfachen meiner Ansicht nach auch noch ein kleiner Fehler eingeschlichen...

Kannst ja beide Ergebnisse nochmal posten.

19.12.2007, 10:32

Mulder

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RE: Kompositionen

Zitat:

Original von vektorraum
Da hat sich aber beim vereinfachen meiner Ansicht nach auch noch ein kleiner Fehler eingeschlichen...

Echt? *sniff*

Also für g(v(f(h(x)))) habe ich jetzt raus: (ich nenne das wieder k)

$\begin{eqnarray*} k(x)=exp( \frac{1}{-|x|^2}) \end{eqnarray*}$

Stimmt das nun so? Vereinfachen kann man da nicht mehr viel, oder? Naja Betragsstriche weglassen vielleicht...

19.12.2007, 10:36

vektorraum

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RE: Kompositionen
Wenn du weißt warum du die Betragsstriche weglassen darfst, ist alles okay. Stimmt also diesmal.

19.12.2007, 10:41

Mulder

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RE: Kompositionen

Zitat:

Original von vektorraum
Wenn du weißt warum du die Betragsstriche weglassen darfst, ist alles okay.

Das weiß in diesem Fall sogar ich tatsächlich. Augenzwinkern

Also, dann nochmal zur scheinbar falschen Vereinfachung:

Da hatte ich ja h(f(v(g(x)))) als Lösung gefunden. Wieder als k:

$\begin{eqnarray*} k(x)= |-( \frac{1}{exp(x)})^2| \end{eqnarray*}$

Das stimmt soweit noch, ja?

Dann habe ich die Betragsstriche und das Minus weggelassen. exp(x) ist ja strikt größer 0.

Dann: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{exp(x)} = exp(-x) \end{eqnarray*}$

Dann: $\begin{eqnarray*} (exp(-x))^2 = exp(-x)*exp(-x) = exp(-2x) \end{eqnarray*}$

Da steckt noch ein Fehler drin, sagst du? verwirrt

19.12.2007, 10:49

vektorraum

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RE: Kompositionen
Hammer

Hab mich verrechnet... Habs mir jetzt grad erst mal aufgeschrieben. Ist richtig vereinfacht. Würde das mit den Begründungen auch immer so hinschreiben.

19.12.2007, 10:55

klarsoweit

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RE: Kompositionen

Zitat:

Original von Mulder
Dann habe ich die Betragsstriche und das Minus weggelassen. exp(x) ist ja strikt größer 0.

Das ist aber nicht die Begründung für das weglassen der Betragsstriche und des Minuszeichens. Das ginge auch, wenn exp(x) negativ wäre.

19.12.2007, 10:58

Mulder

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RE: Kompositionen
Edit: Ja stimmt. Sehe ich jetzt auch... smile

Ähem... $\begin{eqnarray*} exp( \frac{1}{-x^2}) \end{eqnarray*}$ kann man nicht mehr sinnvoll vereinfachen, oder? Mit der Funktionalgleichung kann ich da wegen dem Minus im Nenner nicht mehr viel machen...

19.12.2007, 11:06

klarsoweit

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RE: Kompositionen
Was hast du denn jetzt wieder gemacht? verwirrt

exp(-2x) war doch richtig. Es ging doch nur um die Begründung für das Weglassen der Betragsstriche.

19.12.2007, 11:07

Mulder

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RE: Kompositionen
*lach*

Das ist eine andere Aufgabe jetzt. Big Laugh

Wollte nur fragen, ob man den Audruck noch vereinfachen könnte.

Die haben wir oben schon teilweise behandelt... smile

19.12.2007, 11:16

klarsoweit

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RE: Kompositionen
Ach so. Bin kein Hellseher.

Also bei $\begin{eqnarray*} exp( \frac{1}{-x^2}) \end{eqnarray*}$ kann man nicht mehr viel machen. Man kann bestenfalls das Minus vor den Bruch schreiben oder in den Zähler. Oder das ganze als Bruch schreiben, also 1/exp(...).

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