beweis polynom ungeraden grads min. 1 nullstelle

19.12.2007, 16:32

FabiB

beweis polynom ungeraden grads min. 1 nullstelle

Hallo, ich suche einen schönen Beweis dafür, dass ein reelles Polynom ungeraden Grades min. eine Nullstelle besitzt. Es gibt dafür in der Literatur allerhand Beweise, doch begeistern können sie mich nicht, da es meistens etwa von der Art ist: Aus Satz sowieso folgt ...., und das ohne nähere Erläuterungen.

Mir ist schon klar, dass es daran liegt das das ganze auch eher trivial ist, ich wollte nur mal fragen ob jemand einen Beweis kennt der ausführlich geführt ist.

Verwendet werden darf/sollte sicherlich der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.

Achja: ansonsten, könnte ich es auch so beweisen, dass ich sozusagen den Bildbereich des Polynoms zur Menge der komplexen Zahlen erweitere, und argumentiere, dass es dann n viele nullstellen gibt. (polynom n-ten grades)
Komplexe Nullstellen treten aber immer in "Paaren" auf, da die konjugiert komplexe Zahl einer Nullstelle ebenfalls Nullstelle ist. Da n ungerade ist können nicht alle Nullstellen komplex sein, ergo min. eine muss reell sein. Diese bleibt auch erhalten wenn man den Bildbereich wieder zu den reellen zahlen einschränkt.
(Bei diesem Ansatz habe ich Probleme das sauber aufzuschreiben glaube ich, aber mir gefällt die Idee ganz gut.)

19.12.2007, 16:43

tmo

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RE: beweis polynom ungeraden grads min. 1 nullstelle

Zitat:

Original von FabiB

Verwendet werden darf/sollte sicherlich der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.

dann benutz ihn doch Augenzwinkern

Für x gegen unendlich divergiert der funktionswert bestimmt gegen unendlich (bei positiven erstem glied). insbesondere gibt es dann ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x > x_0 \end{eqnarray*}$ .

kannst du nun weitermachen?

19.12.2007, 17:10

FabiB

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RE: beweis polynom ungeraden grads min. 1 nullstelle
ja für x gegen unendlich geht der funktionswert gegen undendlich, für x gegen minus-unendlich gegen minus unendlich, also gibt es ein a,b mit f(a)<0 und f(b)>0, und nach dem zwischenwertsatz ein c mit f(c)=0.

wie zeige ich dass ein polynom ungeraden gerades divergiert so wie oben benutzt?..

19.12.2007, 17:21

tmo

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ich würde so ansetzen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n > 0 \end{eqnarray*}$ (der fall $\begin{eqnarray*} a_n < 0 \end{eqnarray*}$ funktioniert ja dann analog)
Da wir zunächst zeigen wollen, was passiert, wenn x gegen plus unendlich geht, reicht es nur positive x zu betrachten.
Schätze nun alle Glieder außer das erste nach unten ab indem du alle koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ nach unten abschätzt.

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