Computerarithmetik

19.12.2007, 16:38

s82

Computerarithmetik

Hallo zusammen,
ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme.
Ich werde zunächst mal die Aufgabenstellung sowie meinen Lösungsweg angeben.

Gegeben:
Basis b=2

3-Stellen Exponent
4-Stellen Mantisse
1-Stelle Vorzeichen
---------------------------
8-Stellen=1 byte

Gesucht:
Kleinste positive,sowie die nächstgrößere Zahl.

Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
8-Stellen=1 byte=8bit
Diese 8 bit verteile ich jetzt:

3-Stellen Exponent = 3 bit
4-Stellen Mantisse = 4*1 bit
1-Stelle Vorzeichen = 1 bit

Nun lege ich den Bereich des Exponenten k fest:
kleinster Exponent mit Vorzeichen = K_= $\begin{eqnarray*} -2^{(n-1)} \end{eqnarray*}$
n=Anzahl bit=3
->k_=-4
größter Exponent mit Vorzeichen k-= $\begin{eqnarray*} +2^{(n-1)}-1 \end{eqnarray*}$
->k-=3
Bereich von k:
-4 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ k $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 3

Nun lege ich den Bereich der Mantisse a fest:
->kleinste Mantisse ohne Vorzeichen a_=0

größte Mantisse a-= $\begin{eqnarray*} 2^{n} -1 \end{eqnarray*}$ mit n=1bit
->a-=1
Bereich von a:
0 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ a $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1
d.h. für jede Mantissenziffer stehen die Zahlen von 0 bis 1 zur Verfügung.

Darstellung der gesuchten Zahlen mit:

$\begin{eqnarray*} A=\sigma*b^{k}* \sum_{i=1}^m~a_i*b^{-i} \end{eqnarray*}$

Für die Kleinste pos. Zahl:
$\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ =Vorzeichen =1
b=Basis=2
k=Exponent=-4
i=1 bis 1
$\begin{eqnarray*} a_i \in \{ 0,...1\} \end{eqnarray*}$ =Mantisse
Ich habe das so verstanden das die kleinste pos. Zahl von Null verschieden sein muss und habe für $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ =1 gewählt.

kleinste pos. Zahl:
A= $\begin{eqnarray*} 2^{-4} *2^{-1}=0.03125 \end{eqnarray*}$
Dieses Ergebnis stimmt,zumindest kommt mein Prof. auf dieses Ergebnis und ich kann es auch nachvollziehen.
Aber bei der nächstgrößeren Zahl kommt er auf:
$\begin{eqnarray*} A= 2^{-4}*(1*2^{-1}+1*2^{-4})=0.03515625 \end{eqnarray*}$
Ich verstehe nicht wie er in dem Term auf $\begin{eqnarray*} 1*2^{-4} \end{eqnarray*}$ kommt.Ich hätte dafür $\begin{eqnarray*} 1*2^{-2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt. verwirrt

Ich hoffe mir kann jemand bei der nächstgrößeren Zahl weiterhelfen.
Danke Sven

20.12.2007, 20:05

Abakus

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RE: Computerarithmetik

Zitat:

Original von s82
Gegeben:
Basis b=2

3-Stellen Exponent
4-Stellen Mantisse
1-Stelle Vorzeichen
---------------------------
8-Stellen=1 byte

Gesucht:
Kleinste positive,sowie die nächstgrößere Zahl.

Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
8-Stellen=1 byte=8bit
Diese 8 bit verteile ich jetzt:

3-Stellen Exponent = 3 bit
4-Stellen Mantisse = 4*1 bit
1-Stelle Vorzeichen = 1 bit

Nun lege ich den Bereich des Exponenten k fest:
kleinster Exponent mit Vorzeichen = K_= $\begin{eqnarray*} -2^{(n-1)} \end{eqnarray*}$
n=Anzahl bit=3
->k_=-4
größter Exponent mit Vorzeichen k-= $\begin{eqnarray*} +2^{(n-1)}-1 \end{eqnarray*}$
->k-=3
Bereich von k:
-4 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ k $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 3

Der Exponent ist hier zB im 2er-Komplement dargestellt, nur anhand der Angabe Exponent = 3 Stellen sehe ich nicht, ob da ein Vorzeichen da ist oder nicht.

Zitat:

Nun lege ich den Bereich der Mantisse a fest:
->kleinste Mantisse ohne Vorzeichen a_=0

größte Mantisse a-= $\begin{eqnarray*} 2^{n} -1 \end{eqnarray*}$ mit n=1bit
->a-=1
Bereich von a:
0 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ a $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1
d.h. für jede Mantissenziffer stehen die Zahlen von 0 bis 1 zur Verfügung.

Fraglich ist, was hier die Mantisse sein soll. Es gibt die Formate x.xxx oder 0.xxxx. Welches verwendest du ? (ich nehme im folgenden die letztere Form)

Zitat:

Darstellung der gesuchten Zahlen mit:

$\begin{eqnarray*} A=\sigma*b^{k}* \sum_{i=1}^m~a_i*b^{-i} \end{eqnarray*}$

Für die Kleinste pos. Zahl:
$\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ =Vorzeichen =1
b=Basis=2
k=Exponent=-4
i=1 bis 1
$\begin{eqnarray*} a_i \in \{ 0,...1\} \end{eqnarray*}$ =Mantisse
Ich habe das so verstanden das die kleinste pos. Zahl von Null verschieden sein muss und habe für $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ =1 gewählt.

kleinste pos. Zahl:
A= $\begin{eqnarray*} 2^{-4} *2^{-1}=0.03125 \end{eqnarray*}$
Dieses Ergebnis stimmt,zumindest kommt mein Prof. auf dieses Ergebnis und ich kann es auch nachvollziehen.

Ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} A = 0.0001 \cdot 2^{100} = 2^{-4} \cdot 2^{-4} \end{eqnarray*}$

Hier ist der Exponent im 2er-Komplement geschrieben, die Mantisse ist als Dualzahl geschrieben.

Zitat:

Aber bei der nächstgrößeren Zahl kommt er auf:
$\begin{eqnarray*} A= 2^{-4}*(1*2^{-1}+1*2^{-4})=0.03515625 \end{eqnarray*}$
Ich verstehe nicht wie er in dem Term auf $\begin{eqnarray*} 1*2^{-4} \end{eqnarray*}$ kommt.Ich hätte dafür $\begin{eqnarray*} 1*2^{-2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt. verwirrt

Die nächstgrößere wäre bei mir dann: $\begin{eqnarray*} B = 0.0010 \cdot 2^{100} = 2^{-3} \cdot 2^{-4} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du von der anderen Form der Mantisse ausgehst, werden die Ergebnisse um den Faktor 2 größer.

Grüße Abakus smile

25.12.2007, 10:20

s82

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RE: Computerarithmetik
Hallo Abakus,
Danke für deine hilfe.
Meinst du du könntest mir noch bei der 1. Aufgabe(siehe ganz oben)weiterhelfen?
Ich habe da für die kleinste Zahl:

$\begin{eqnarray*} A=2^{-16} *2^{-1} =2^{-17}=7.6294* 10^{-6} \end{eqnarray*}$

Für die nächstgrößere:

$\begin{eqnarray*} A= 2^{-16}* (2^{-1}+2^{-10})=7.6443*10^{-6} \end{eqnarray*}$

und für die größte:

$\begin{eqnarray*} A=32.736 \end{eqnarray*}$

Danke Sven

25.12.2007, 13:39

Abakus

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RE: Computerarithmetik

Zitat:

Original von s82
Meinst du du könntest mir noch bei der 1. Aufgabe(siehe ganz oben)weiterhelfen?
Ich habe da für die kleinste Zahl:

$\begin{eqnarray*} A=2^{-16} *2^{-1} =2^{-17}=7.6294* 10^{-6} \end{eqnarray*}$

Für die nächstgrößere:

$\begin{eqnarray*} A= 2^{-16}* (2^{-1}+2^{-10})=7.6443*10^{-6} \end{eqnarray*}$

und für die größte:

$\begin{eqnarray*} A=32.736 \end{eqnarray*}$

Welche Aufgabe meinst du jetzt ? Und wie schreibt ihr die Mantisse ?

Grüße Abakus smile

25.12.2007, 17:13

s82

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RE: Computerarithmetik
Sorry,
die Aufgabe steht im Numerikforum unter Rechnung im Maschinenzahlensystem.
Wir schreiben die Mantisse x.xxx.
Wäre schön wenn du mal nachschauen könntest.
Danke Sven

Ps.Frohe Weihnachten

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