Summe der Lagrange-Polynome

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19.12.2007, 17:05	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe der Lagrange-Polynome Guten Abend, wie kann ich zeigen, dass für die Lagrange-Polynome $\begin{eqnarray} \phi_j(x)=\prod_{i=0}^n~\frac{x-x_i}{x_j-x_i} ~~i\neq j \end{eqnarray}$ die Summe darüber identisch 1 ist also: $\begin{eqnarray} \sum_{j=0}^n~\phi_j(x)=1 \end{eqnarray}$ Habe bereits Induktion probiert, aber ich weiß dann nicht weiter, wie der Hauptnenner usw. aussehen soll. Ist n klein funktioniert da ja ganz gut aber für allegemeines n, habe ich noch nicht den Durchblick.
19.12.2007, 17:53	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Summe ist ja wieder ein Polynom (also vergiss schonmal das mit dem Hauptnenner), und zwar vom selben Grad. Wenn es also Grad n hat, und an n+1 Stellen =1 ist, dann ist es schon 1. mfg 20
19.12.2007, 18:14	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe der Lagrange-Polynome Hallo, okay du hast recht, aber wie schreibt man das denn jetzt mathematisch korrekt hin? $\begin{eqnarray} \Phi(x)=\sum_{j=0}^n~y_j\phi_j(x)-1=0 \end{eqnarray}$ Ich kann mir doch so ein Polynom basteln, wobei ich die Funktionswerte an den Stützstellen allesamt gleich eins setze, also: $\begin{eqnarray} y_j=1~~j=0,...,n \end{eqnarray}$ Nun habe ich also ein Polynom n-ten Grades mit n+1 Nullstellen, da ein Polynom nur höchstens n Nullstellen haben kann, folgt daraus unmittelbar dass es sich um das Nuillpolynom handeln muss und somit: $\begin{eqnarray} \sum_{j=0}^n~y_j\phi_j(x)=1 \end{eqnarray}$ Würdet ihr das so abgeben?
19.12.2007, 19:42	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Formal Ich kenne nun dein Skript nicht, aber ich würde mich auf Sätze/Kor/Lem. die ihr bestimmt habt beziehen. Zu gegebenen paarweise verschiedenen Knoten $\begin{eqnarray} x_0,...,x_n \end{eqnarray}$ lauten die Lagrange-Polynome: $\begin{eqnarray} \phi_j(x)=\prod_{i=0 \atop i \neq j}^n~\frac{x-x_i}{x_j-x_i} \end{eqnarray}$ Dabei gilt: $\begin{eqnarray} \phi_j(x_k)=\prod_{i=0 \atop i \neq j}^n~\frac{x_k-x_i}{x_j-x_i} = 0, \quad \forall k \in \{0,...,n\} \setminus \{j\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi_j(x_k)=\prod_{i=0 \atop i \neq j}^n~\frac{x_j-x_i}{x_j-x_i} = 1 \end{eqnarray}$ Damit gilt für das Polynom: $\begin{eqnarray} s(x):=\sum_{j=0}^n~\phi_j(x) \in \Pi_{n} \end{eqnarray}$ dass es an n+1 paarweise verschiedenen Stellen den Wert 1 annimmt. Somit kann man auf das Polynom $\begin{eqnarray} \hat s(x):=\sum_{j=0}^n~\phi_j(x) -1 \in \Pi_{n} \end{eqnarray}$ den "Satz über das Nullpolynom" anwenden und es folgt die Behauptung.
19.12.2007, 20:35	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tigerbine, vielen Dank für den netten Beitrag. Also den Satz über Nullpolynom haben wir nicht, aber ich denke mal, dass du damit meinst, dass ein Polynom n-ten Graden nur max. n Nullstellen haben kann, also bein n+1 Stützstellen welche ja Nullstellen sind folgt daraus, dass $\begin{eqnarray} \hat{\Phi} \end{eqnarray}$ das Nullpolynom ist, also die Aussage.
19.12.2007, 20:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, den Satz meinte ich
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19.12.2007, 20:49	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
coole sache. danke, aber eine Sache interessiert mich dann doch noch: $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^n~x_i\frac{L(x)}{(x-x_i)L'(x_i)} ~ \forall x \in \mathbb R ~ ohne ~ \{ x_o,x_1,...,x_n\} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} L(x)=\prod_{j=0}^n(x-x_j) \end{eqnarray}$ Es steht da man solle diese Formel mit Hilfe der $\begin{eqnarray} \phi_j(x) \end{eqnarray}$ zeigen. Und das sind eben diese Lagrange-Polynome bei uns?! Hättest du da noch eine zündende Idee?
19.12.2007, 21:14	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Formel
19.12.2007, 21:15	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Die hier: $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^n~x_i\frac{L(x)}{(x-x_i)L'(x_i)} =x~~ ~~~\forall x \in \mathbb R \setminus \{ x_o,x_1,...,x_n\} \end{eqnarray}$ Hatte das x vergessen, entschuldige. Also wenn du mir noch einen Tip geben könntest wäre es klasse.
20.12.2007, 14:05	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechne zunächst L' aus, wenn du da x_i einsetzt fällt ganz viel weg (alles bis auf ein Summand). Dann fasst du diesen Term mit dem L im Nenner zusammen (da musst du vorher einen Term noch rausziehen und kürzen) und erhälst das phi. Probier erstmal soweit. mfg 20
21.12.2007, 19:00	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Thx, hat sich mittlerweile erledigt. Schönen Abend
22.12.2007, 16:45	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dennoch bitte in so einem Fall auch die Lösung angeben. Danke.
23.12.2007, 00:38	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich machs mal: $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^n~x_i\frac{L(x)}{(x-x_i)L'(x_i)} =x~~ ~~~\forall x \in \mathbb R \setminus \{ x_o,x_1,...,x_n\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} L(x)=\prod_{j=0}^n(x-x_j) \end{eqnarray}$ Jetzt ist $\begin{eqnarray} L'(x)=\sum_{k=0}^n \prod_{j=0 \atop j\neq k}^n (x-x_j) \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} L'(x_i)=\prod_{j=0 \atop j\neq i}^n (x_i-x_j) \end{eqnarray}$ Einsetzen in die linke Seite der zu zeigenden Gleichung liefert: $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^n~x_i\frac{L(x)}{(x-x_i)L'(x_i)}=\sum_{i=0}^n x_i \prod_{j=0 \atop j\neq i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}=\sum_{i=0}^n x_i \phi_i(x) \end{eqnarray}$ Setzt man jetzt $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ ein, so ist $\begin{eqnarray} \phi_i(x_k)=\delta_{i,k} \end{eqnarray}$ , also ergibt die Summe dann $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ . Dies geht für n+1 k-Werte, also hat das Polynom $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^n~x_i\frac{L(x)}{(x-x_i)L'(x_i)}-x \end{eqnarray}$ an n+1 Stellen den Wert 0. Daraus folgt wie oben, dass es 0 ist, und daraus die Behauptung. mfG 20
23.12.2007, 09:48	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke ans Kleingeld

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