Reihenwertberechnung...

19.12.2007, 18:32	AMDUSER	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenwertberechnung... Hi Ich soll den Reihenwert folgender Reihe berechnen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty~\frac{k^{2}}{2^{k}} \end{eqnarray}$ Hab schon alles mögliche versucht aber komme einfach auf keinen grünen Zweig... Ein Tip würde mir schon sehr helfen mfg amd
19.12.2007, 18:58	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
kennst du den "trick", den man benutzt, um die geometrische reihe zu berechnen? siehe auch hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe durch zweimalige anwendung meine ich, kann man die reihe auf eine geometrische reihe zurückführen.
19.12.2007, 20:43	AMDUSER	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab mir das jetzt ein Weilchen angeschaut aber hab ehrlich gesagt keine Ahnung was du meinst ?_? Ich muss dazu sagen dass ich selbst kein Mathestudent bin sondern diese Aufgaben von meiner Freundin die Mathe auf Lehramt studiert bekomme damit mir während meinem Zivildienst nicht ganz so langweilig ist :P Wäre nett wenn du etwas präziser werden könntest.
19.12.2007, 21:29	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich zeige dir mal die erste anwendung. die zweite versuchst du dann. betrachten wir mal $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot q^k \end{eqnarray}$ es ist $\begin{eqnarray} s_n = 1^2 \cdot q^1 + 2^2 \cdot q^2 + ... + (n-1)^2 \cdot q^{n-1} + n^2 \cdot q^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q \cdot s_n = 1^2 \cdot q^2 + ... + (n-1)^2 \cdot q^n + n^2 \cdot q^{n+1} \end{eqnarray}$ damit ergibt sich durch subtrahieren der beiden gleichungen: $\begin{eqnarray} (1-q)s_n = \left( \sum_{k=1}^{n}k^2q^k-(k-1)^2q^k \right) - n^2 \cdot q^{n+1} = \left( \sum_{k=1}^{n} q^k(2k-1)\right) - n^2 \cdot q^{n+1} = 2 \sum_{k=1}^{n} k \cdot q^k - \left( \sum_{k=1}^{n} q^k \right) - n^2 \cdot q^{n+1} \end{eqnarray}$ auf die reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} k \cdot q^k \end{eqnarray}$ wendest du das ganze nochmal an und dann hast du da nur noch geometrische reihen stehen, deren wert du berechnen kannst. danach kümmern wir uns dann noch um den grenzübergang
20.12.2007, 00:51	AMDUSER	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst ein bisschen rumgerechne: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~k^2 \cdot 2^{-k} = \sum_{k=0}^n~k^2 \cdot \frac{1}{2^k} = \sum_{k=0}^n~k^2 \cdot \frac{1^k}{2^k} = \sum_{k=0}^n~k^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray}$ Man substituiere $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ mit q: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n} k^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k = \sum_{k=0}^{n} k^2 \cdot q^k \end{eqnarray}$ es ist $\begin{eqnarray} s_n = 0^2 \cdot q^0 + 1^2 \cdot q^1 + 2^2 \cdot q^2 + ... + (n-1)^2 \cdot q^{n-1} + n^2 \cdot q^n \end{eqnarray}$ (Gleichung 1) und $\begin{eqnarray} q \cdot s_n = 0^2 \cdot q^1 + 1^2 \cdot q^2 + 2^2 \cdot q^3 + ... + (n-1)^2 \cdot q^n + n^2 \cdot q^{n+1} \end{eqnarray}$ (Gleichung 2) Gleichung 1 - Gleichung 2 ergibt: $\begin{eqnarray} s_n - q \cdot s_n = 1^2 \cdot q^1 - 1^2 \cdot q^2 + 2^2 \cdot q^2 - 2^2 \cdot q^3 + ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ... + (n-1)^2 \cdot q^{n-1} - (n-1)^2 \cdot q^n + n^2 \cdot q^n - n^2 \cdot q^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1-q) \cdot s_n = \left( \sum_{k=1}^n~-(k-1)^2 \cdot q^k + k^2 \cdot q^k \right) - n^2 \cdot q^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1-q) \cdot s_n= \left( \sum_{k=1}^n~ (-(k-1)^2 + k^2) \cdot q^k \right) - n^2 \cdot q^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1-q) \cdot s_n= \left( \sum_{k=1}^n~ (-(k^2 -2k +1) + k^2) \cdot q^k \right) - n^2 \cdot q^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1-q) \cdot s_n= \left( \sum_{k=1}^n~ (-k^2 +2k -1 + k^2) \cdot q^k \right) - n^2 \cdot q^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1-q) \cdot s_n= \left( \sum_{k=1}^n~ ( 2k -1) \cdot q^k \right) - n^2 \cdot q^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1-q) \cdot s_n= \left( \sum_{k=1}^n~ 2k \cdot q^k -q^k \right) - n^2 \cdot q^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1-q) \cdot s_n= \sum_{k=1}^n~ 2k \cdot q^k + \left( \sum_{k=1}^n~-q^k \right) - n^2 \cdot q^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1-q) \cdot s_n= 2 \cdot \sum_{k=1}^n~ k \cdot q^k - \left( \sum_{k=1}^n~q^k \right) - n^2 \cdot q^{n+1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~ k \cdot q^k \end{eqnarray}$ nochmal das selbe: $\begin{eqnarray} s_n = 1 \cdot q^1 + 2 \cdot q^2 + ... + (n-1) \cdot q^{n-1} + n \cdot q^n \end{eqnarray}$ (Gleichung 1) und $\begin{eqnarray} q \cdot s_n = 1 \cdot q^2 + 2 \cdot q^3 + ... + (n-1) \cdot q^n + n \cdot q^{n+1} \end{eqnarray}$ (Gleichung 2) Gleichung 1 - Gleichung 2 ergibt: $\begin{eqnarray} s_n - q \cdot s_n = 1 \cdot q^1 - 1 \cdot q^2 + 2 \cdot q^2 - 2 \cdot q^3 + ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ... + (n-1) \cdot q^{n-1} - (n-1) \cdot q^n + n \cdot q^n - n \cdot q^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1-q) \cdot s_n = \left( \sum_{k=1}^n~-(k-1) \cdot q^k + k \cdot q^k \right) - n \cdot q^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1-q) \cdot s_n = \sum_{k=1}^n~ q^k - n \cdot q^{n+1} \end{eqnarray}$ Teilsummen: $\begin{eqnarray} S1 = 2 \cdot \sum_{k=1}^n~ k \cdot q^k = \frac{2}{1-q} \cdot \left( \left( \sum_{k=1}^n~ q^k \right) - n \cdot q^{n+1} \right) \end{eqnarray}$ Da die geometrische Summe bei 0 und nicht bei 1 beginnt muss zuvor noch um $\begin{eqnarray} a_0 = q^0= 1 \end{eqnarray}$ erweitert werden: $\begin{eqnarray} \frac{2}{1-q} \cdot \left( \left( \sum_{k=1}^n~ q^k \right) - n \cdot q^{n+1} \right) = \frac{2}{1-q} \cdot \left( \left( \sum_{k=0}^n~ q^k \right) -1 - n \cdot q^{n+1} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{2}{1-q} \cdot \left( \frac{1}{1-q} -1 - n \cdot q^{n+1} \right) \end{eqnarray}$ hier ebenso: $\begin{eqnarray} S2 = -\sum_{k=1}^n~ q^k = - \left( \left( \sum_{k=0}^n~ q^k \right) -1 \right) = -\frac{1}{1-q} +1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} q = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \cdot \left( \frac{2}{1-\frac{1}{2}} \cdot \left( \frac{1}{1-\frac{1}{2}} - 1 - \underbrace {\infty \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{\infty +1}}_{\rightarrow 0} \right) -\frac{1}{1-\frac{1}{2}} + 1 - \underbrace {\infty ^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{\infty +1}}_{\rightarrow 0} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 2 \cdot (4 \cdot (2-1) - 1) = 6 \end{eqnarray}$ Vielen, vielen Dank für die Hilfe. Hab den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen :P Dabei wars jetzt wirklich nicht schwer. Nochmals vielen Dank, meine Freundin wird sich freuen g [EDIT] Mir ist grad aufgefallen dass ich irgendwo nen Fehler haben muss So wie ich das sehe muss ich ja ganz zum Schluss nochmal durch 1-q teilen. Dann würde 12 rauskommen. Laut meinem CAS muss aber 6 rauskommen... Sieht jemand den Fehler? [EDIT2] Hab den Fehler gefunden, die geometrische summe beginnt natürlich bei 0 und nicht bei 1
20.12.2007, 21:20	Horst&Werner	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest hier auch mit der Cauchy'schen Produktformel argumentieren: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-q)^2}=\left(\sum_{n=0}^\infty q^n\right)^2=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n q^k q^{n-k}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)q^n=\sum_{n=0}^\infty nq^n+\sum_{n=0}^\infty q^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sum_{n=0}^\infty nq^n=\frac{1}{(1-q)^2}-\frac{1}{1-q}=\frac{q}{(1-q)^2} \end{eqnarray}$ Und jetzt analog mit obigem Ergebnis: $\begin{eqnarray} \frac{q}{(1-q)^3}=\sum_{n=0}^\infty nq^n \cdot\sum_{n=0}^\infty q^n=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^nkq^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{n(n+1)}{2}q^n=\frac{1}{2}\left(\sum_{n=0}^\infty n^2q^n+\sum_{n=0}^\infty nq^n\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow\sum_{n=0}^\infty n^2q^n=\frac{2q}{(1-q)^3}-\frac{q}{(1-q)^2}=\frac{q^2+q}{(1-q)^3} \end{eqnarray}$
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