Grenzwert x->3 mit Bedingung

20.12.2007, 11:37

sg

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Grenzwert x->3 mit Bedingung

Hallo,

gegeben ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} \frac{2x^2 - 5x -3}{x-3} \end{eqnarray*}$ .
und weiterhin f(0)=1.

Nach l'Hopital bilde ich die Ableitung, also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} \frac{4x - 5}{1} = \frac{12-5}{1}=7 \end{eqnarray*}$

Ich soll bei einer Funktion prüfun, ob diese An der Stelle x=3 stetig ist.
Also muss ich den links- und rechtsseitigen Grenzwert berechnen:

lim
x->3
x<3

und

lim
x->3
x>3

Wie mache ich das, also für x<3, x>3?
Ich weiß, dass die Funktion an der Stelle x=3 nicht stetig ist, sobald der/die Grenzwert/e nicht mit dem Funktionswert übereinstimmen.

20.12.2007, 11:42

vektorraum

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RE: Grenzwert x->3 mit Bedingung
L'Hospital ist nicht erforderlich, wenn du den Zähler in Linearfaktoren zerlegst.

Dazu rechnest du die Nullstellen des Zählers aus... Dann kürzt sich einiges weg und die Berechnung ist relativ einfach.

Links- und rechtsseitiger Grenzwert erhälst du damit ganz schnell.

20.12.2007, 11:42

tigerbine

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RE: Grenzwert x->3 mit Bedingung

Zitat:

Ich soll bei einer Funktion prüfun, ob diese An der Stelle x=3 stetig ist.

Die Funktion ist an dieser Stelle gar nicht definiert, also kann sie dort auch nicht stetig sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.12.2007, 11:44

klarsoweit

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RE: Grenzwert x->3 mit Bedingung

Zitat:

Original von sg
Nach l'Hopital bilde ich die Ableitung, also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} \frac{4x - 5}{1} = \frac{12-5}{1}=7 \end{eqnarray*}$

Ich soll bei einer Funktion prüfun, ob diese An der Stelle x=3 stetig ist.
Also muss ich den links- und rechtsseitigen Grenzwert berechnen:

Du hast doch schon den Grenzwert x --> 3 gebildet. Der links- bzw. rechtsseitige Grenzwert wird nicht anders ausfallen. Die Frage ist, ob der Grenzwert mit f(3) übereinstimmt. Wenn jedoch für x=3 kein Funktionswert vorgegeben ist, erübrigt sich die Frage nach der Stetigkeit.

Im übrigen ist l'Hospital in diesem Fall schon ein schweres Geschoss. Da x=3 eine Nullstelle vom Zähler ist, kannst du den Faktor (x-3) mittels Polynomdivision abspalten.

EDIT: zu spät. traurig

traurig

Als ich im Forum geschaut habe, war kein einziger da. unglücklich

unglücklich

20.12.2007, 11:56

sg

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Wie stelle ich denn die Funktion für den links und rechtsseitigen GW auf?

Wenn dort zwei Funktionen für z.b. x<1 und x>2 gegeben wären, wärs ja klar.

dort stehen aber eben die Funtionen für x=-2 und x≠-2.

Wie sehen dann die Funktionen aus?

Sind die Grenzwerte +\infty und -\infty ?

20.12.2007, 11:57

sg

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gemeint war als beispiel x<1 und x>1

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20.12.2007, 11:58

sg

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und es sollte ein ungleich-zeichen werden, kein &#8800

20.12.2007, 12:00

vektorraum

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Da du keine abschnittsweise definierte Funktion hast, brauchst du nur

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 3}f(x) \end{eqnarray*}$

betrachten.

Aber beachte die obigen Kommentare bzgl. der Stetigkeit an der Stelle.

20.12.2007, 12:14

sg

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Oder berechne ich den linken und rechten gw so:

links: x->(-2)-i
rechts: x-> (-2)+1

also

linker GW: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to (-2)-1} \frac{4x-5}{1}= -17 \end{eqnarray*}$
rechter GW: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to (-2)+1} \frac{4x-5}{1}= 9 \end{eqnarray*}$

daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} -17\neq 7\neq -9 \end{eqnarray*}$

ich begründe: "Da linker un rechter GW unterschiedlich sind, ist die Funktion an der stelle x=-2 nicht stetig.
?

20.12.2007, 12:17

sg

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hab die aufgaben vertauscht, es muss x=3 sein statt -2

20.12.2007, 12:20

vektorraum

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Mir erschließt sich deine Lösung trotzdem nicht... Ebenso nicht, wie du auf diesen Ausdruck kommst im Zähler.

20.12.2007, 12:27

sg

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da für x=3 der nenner 0 werden würde, habe ich die regel nach l'hospital angewendet.

demnach wird aus $\begin{eqnarray*} \frac{2x^2 - 5x -3}{x-3}= \frac{4x-5}{1} \end{eqnarray*}$

den grenzwert für x->(3) würde ich errechnen, indem ich jetzt einfach (3) einsetze.

Da ich aber den links- und rechtsseitigen gw haben möchte, habe ich einmal für x->3(-1) und x->3+1 gerechet.

Dann kommt raus:

linker GW: (4*2)-5=3
rechter GW: (4*4)-5=9

linker und rechter gw sind verschieden, deshalb ist die funktion an der stelle x=3 nicht stetig.

20.12.2007, 12:34

vektorraum

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Jetzt sind wir wieder am Ausgangspunkt. Anscheinend liest du überhaupt nicht, wer hier was schreibt...

1) L'Hospital ist hier völlig unnötig.

2) Deine Grenzwertberechnung ist nicht sinnvoll.

3) Die Funktion ist ja erstmal gar nicht an der Stelle definiert, also kann sie dort nicht stetig sein. Man könnte sie höchstens stetig fortsetzen, falls Funktionswert und Grenzwert übereinstimmen.

Also alles in allem: ich glaube du hast das noch nicht richtig verstanden und solltest mal in aller Ruhe nachschlagen.

Alles weitere erübrigt sich jetzt von meiner Seite, da du nicht auf das reagierst was man dir sagt.

20.12.2007, 12:39

sg

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a) l'hospital ist zwar unnötig aber dennoch möglich.

b) ich weiß, dass die funktion an der Stelle nicht stetig sein kann, da 3 nicht 1 ist

c) ob die grenzwertberechnung sinnvoll ist oder nicht, ist eine andere frage.
wenn ich den links und rechtsseitigen grenzwert nicht angeben müsste, würde ich hier auch nicht danach fragen

Also nochmal: Ist die berechnung des linken bzw. rechten gw in meinem letzten beitrag richtig, oder gibt es einen besseren weg?

20.12.2007, 12:47

vektorraum

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RE: Grenzwert x->3 mit Bedingung

Zitat:

Original von sg
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} \frac{2x^2 - 5x -3}{x-3} \end{eqnarray*}$ .
und weiterhin f(0)=1.

Meinst du hier vielleicht schon f(3)=1. Dann wäre die Argumentation ja richtig.

Dann mach halt dein L'Hospital, man wird ja nur mal darauf hinweisen dürfen.

Weder links- noch rechtsseitiger Grenzwert sind richtig. Wie genau rechnest du das denn???

20.12.2007, 12:55

sg

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ja, ich meinte f(3)=1.

ich rechne für den linken gw: x->a-i
für den rechten gw: x->a+i,

weil a im erster fall kleiner als 3, im zweiten fall größer als 3 sein soll.

ich möchte also zeigen was mit dem graphen links und rechts von x=3 passiert.

denn wenn der links und rechtsseitige gw indentisch wären, könnte ich den graphen "ohne absetzen" zeichnen, und es gäbe einen funktionswert an der stelle x=3.

da aber die beiden gw verschieden sein müssen, da f(3)=1 vorgegeben ist, ich aber 3 nicht in die funktion einsetzen kann, kann die funktion nicht stetig sein an der stelle x=3.

stetig ist sie nur für werte 3<x<3.

20.12.2007, 13:32

sg

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we gehe ich denn jetzt vor, um den linken und rechetn gw zu berechnen?

stimmt

lim f(x)-f(0
x->3 ----------
x>3 x - f(0)

=

lim f(x)-1
n->3 -2-1

= f(3)-1
-3
?

20.12.2007, 13:35

sg

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-f(3)}{x-f(3)} =\frac{f(x)-1}{3-1}= \frac{f(x)-1}{2} \end{eqnarray*}$

20.12.2007, 13:45

tigerbine

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Würdest Du bitte vor deinen Posts ein wenig überlegen und nicht immer Doppelposts erstellen. Auch mal die Vorschau benutzen, danke.

20.12.2007, 14:57

klarsoweit

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RE: Grenzwert x->3 mit Bedingung
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3}~\frac{2x^2 - 5x -3}{x-3} = \lim_{x \to 3}~\frac{(x-3) \cdot (2x + 1)}{x-3} = \lim_{x \to 3}~(2x + 1) = 7 \end{eqnarray*}$ .

Damit erübrigt sich (das wurde jetzt schon 5-mal gsagt) die Berechnung von links- oder rechtsseitigen Grenzwert. Aber wenn du das unbedingt machen willst, dann setze x=3+h bzw x=3-h mit h > 0.

Zitat:

Original von sg
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-f(3)}{x-f(3)} =\frac{f(x)-1}{3-1}= \frac{f(x)-1}{2} \end{eqnarray*}$

Das erinnert irgendwie an einen Differenzenquotienten, ist aber trotzdem grober Unfug.

20.12.2007, 15:36

sg

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linksseitiger gw: 2(3+1)+1=9
rechtsseitiger gw: 2(3-1)+1=5

für h=1>0

oder muss ich schreiben, dass h unendnlich groß wird, also

linsseitiger gw: -\infty
rechtsseitiger gw: +\infty

20.12.2007, 15:51

Marvin42

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nein h wird ganz klein; bleibt aber immer etwas über 0. so kommst nämlich beliebig nahe an den Punkt. bei +h von rechts bei -h von links

20.12.2007, 16:03

sg

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Also schreibe ich" Der linksseitige grenzwert ist 7-h, der rechtsseitige GW ist 7+h für h>0"?

Gibt es nie einen konkreten wert für den rechts-/linksseitigen grenzwert?

20.12.2007, 16:15

sg

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http://www-stud.uni-due.de/~sgtrsere/gw.jpg

20.12.2007, 16:26

klarsoweit

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Mal abgesehen davon, daß vorstehendes Unfug ist, gibt es einen vernünftigen Grund, warum du stets und ständig darauf erpicht bist, einen rechts- / linksseitigen Grenzwert zu berechnen?

20.12.2007, 16:28

vektorraum

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Zitat:

Original von sg
c) ob die grenzwertberechnung sinnvoll ist oder nicht, ist eine andere frage.
wenn ich den links und rechtsseitigen grenzwert nicht angeben müsste, würde ich hier auch nicht danach fragen

Augenzwinkern

Teufel

20.12.2007, 16:43

sg

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Wort "Unfug" gehört wohl zu deinen Lieblingswörtern.

Ich müsste keinen Unfug schreiben, wenn ich wüsste, wie ich den links-/rechtsseitigen Grenzwert berechne. Bisher gab es dazu noch keinen nütlichen Hinweis, wenn auch nur einen Verweis auf einen Artikel o.Ä.; vielmehr wurden meine Ideen wahlweise mit "Unsinn", "Grob falsch" oder eben "Unfug" betitelt.

Ich frag mich mittlerweile, warum ich überhaupt hier eine Frage reinstelle, wenn ich sowieso keine konstruktive Kritik erhalte.

Wofür gibt es dieses Forum eigentlich? Es heißt doch "Mathe verstehen". Ich erwarte keine fertige Lösung, sondern wäre schon für einen Hinweis dankbar.

Ich habe direkt im ersten Beitrag die Frage gestellt, wie ich den links/rechtsseitigen Grenzwert berechne, da ich keine entsprechende Literatur dazu finden konnte.
Ob es bei dieser Aufgabe einen besseren oder logischeren Lösungsweg gibt, hab ich ursprünglich nicht gefragt (was aber nicht heißen soll, dass ich dafür nicht dankbar bin).

Also nochmal: Wie berechne ich den links- und rechtsseitigen Grenzwert an einer unstetigen stelle?

20.12.2007, 16:44

klarsoweit

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RE: Grenzwert x->3 mit Bedingung
Das Problem ist ja nur, daß diese Umformung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3}~\frac{2x^2 - 5x -3}{x-3} = \lim_{x \to 3}~\frac{(x-3) \cdot (2x + 1)}{x-3} = \lim_{x \to 3}~(2x + 1) = 7 \end{eqnarray*}$ .

für jedes x, also auch für x > 3 bzw. x < 3, gilt. Was will man da also links- bzw.rechtsseitig berechnen? Es steht doch eh das gleiche da.

EDIT: wenn es denn unbedingt sein muß. Da habe ich gesagt, wie man vorgeht:

Zitat:

Original von klarsoweit
Aber wenn du das unbedingt machen willst, dann setze x=3+h bzw x=3-h mit h > 0.

Ergänzung: bilde dann den Grenzwert für h gegen Null.

20.12.2007, 17:13

sg

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Also $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} 2(3+h)+1=2*(3+0)+1=7 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} 2(3-h)+1=2*(3-0)+1=7 \end{eqnarray*}$ ?

20.12.2007, 17:26

klarsoweit

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So ist es ok. Interessanter ist sowas für abschnittsweise definierte Funktion, wie z.B.:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}x+1 & \text{für } x < 3 \\ -x+1 & \text{für } x \geq 3\end{cases} \end{eqnarray*}$

20.12.2007, 17:36

sg

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Danke schonmal!

Begründung wäre also:
Der links- un rechtsseitige Grenzwert stimmen zwar überein, da der Wert aber nicht mit dem für f(3)=1 übereinstimmt, ist die Funktion nicht stetig.

20.12.2007, 17:58

klarsoweit

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So ist es. Freude

Freude

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