Determinante einer nxn matrix

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AndyH. Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante einer nxn matrix
Hallo zusammen, ich will die Determinante der folgenden Matrix berechnen. Die Matrix ist tridiagonal und besitzt in den Nebendiagonalen Einsen und in der Hauptdiagonalen Nullen

Hab das mal mit Maple bis zu einer 8x8 Matrix berechnet und kam auf folgendes Muster:

Determinante ist Null für 1,3,5,7....2n-1

Determinante ist 1 für 4,8,...4n

Determinante ist -1 für 2,6,...4n-2

Frage: Gibt es vielleicht für diese Tridiagonalmatrix nicht eine geschlossene Formel? Wenn ja, wie könnte man an diese rankommen?
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Sei A_n mal die von dir beschriebene Tridiagonalmatrix der Dimension nxn und a_n:=det(A_n). Ich würde nun versuchen, die Determinante der Matrix (eventuell mehrmals) mit dem Entwicklungssatz nach einer Zeile oder Spalte zu entwickeln, und das Ergebnis so umzuformen, daß wieder Matrizen mit demselben Muster dastehen. So läßt sich bestimmt eine Rekursionsformel für die Folge a_n finden. Diese muß man dann nur noch lösen.

Alternativ kannst du die geschlossene Formel auch erraten, und dann mittels vollständiger Induktion beweisen, daß sie stimmt.

Keine Ahnung, ob dir das gefällt, aber mit etwas Trickserei wäre eine geschlossene Darstellung zum Beispiel



wobei i die imaginäre Einheit ist, also eine komplexe Zahl. Alternativ geht auch

Andy H. Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, diese Formeln sehen ja schon trickreich aus, wobei aber die letzte sehr interessant ist. Mit dem Satz von Laplace bin ich nicht weit gekommen leider. Kann man vielleicht was mit Zeilen/Spaltenvertauschungen bewirken?
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn du zweimal nach der ersten Zeile entwickelst, erhältst du problemlos a_n=-a_{n-2}.
AndyH. Auf diesen Beitrag antworten »

Also Entwicklung nach erster Zeile



Nur für j=2 gibt es einen von 0 verschiedenen Summanden. Für j=2 gilt:



Die Matrix A12 sieht ja wie folgt aus:



Wenn ich das nochmal nach der ersten Zeile entwickle, dann habe ich zwei Summanden ungleich 0. nämlich für j=1 und =2. Aber dann entstehen doch zwei weitere Unterdeterminanten?
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schau dir den zweiten Summanden, der da entsteht, mal genauer an. Besonders die erste Spalte.
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tomtomtomtom
Dann schau dir den zweiten Summanden, der da entsteht, mal genauer an. Besonders die erste Spalte.


Naja, alternativ koennte man beim zweiten mal auch nach der ersten Spalte entwickeln. Da steht nur eine 1 drinne. Wird kuerzer, und man muss auch nicht so schlau sein, um zu wissen, dass die Determinante einer singulaeren Matrix Null ist. Augenzwinkern
AndyH. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Ja, nach der ersten Spalte zu entwicklen ist eine gute Idee. Dann gilt nämlich



Und wenn ich jetzt A12 nach der ersten Spalte entwickle, dann habe ich insgesamt



Und A11 ist aber wieder eine n-2xn-2 tridiagonalmatrix der Ausgangsform. dann gilt ja:



Vielen Dank für Hilfe smile

Aber jetzt mal so als Anreiz. Wie käme man auf . Müsste ich mich da mit linearen Rekursionen auskennen oder kann man sich das erschließen?

Erraten kann man sich das ja, da die Determinanten zwischen drei Werten schwanken, die auch periodisch in der cos,sin funktion vorkommen. Aber kann man das systematisch herleiten?
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein suchst du ja eine Lösung von a_n=-a_{n-2}, wobei du auch noch Anfangswerte vorgegeben hast.

Das ist eine linearen Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Lösungstheorie für solche Gleichungen ist ziemlich ähnlich zu der von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.

Als Einstieg kannst du ja mal

http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Rek...n_Koeffizienten

lesen.

Das Charakteristische Polynom der Differenzengleichung hat in deinem Fall nur komplexe Nullstellen, nämlich i und -i. Die in dem Link vorgeführte Methode funktioniert aber trotzdem.
So kommst du mit etwas Rechenrei fast auf die erste von mir angegebene Lösung, und wirst feststellen, daß ich mich verrechnet habe. Big Laugh

Nun ist es etwas unbefriedigend, in einer reellen Lösung komplexe Zahlen stehen zu haben. Um die zweite Darstellung zu bekommen, kannst du dann die Eulersche Identität



verwenden, denn es ist zum Beispiel

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Oder rein reell:

AndyH. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Vielen Dank für eure Mühe. Ich habe jetzt nochmal folgende Frage. Nehmen wir an, ich darf kein Laplace benutzen, wie kann ich dann auf eine Rekursionsformel oder sogar auf eine explizite Formel kommen?

Die Formel von Leopold sieht mir z.B. danach aus, dass da Zeilen vertauscht wurden. Kannst du das vielleicht näher erläutern Leopold? smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das nicht errechnet, sondern erfunden. Allerdings nicht aus dem Blauen heraus, sondern mit Hilfe der Erkenntnisse aus diesem ganz jungen Strang. Mir fiel auf, daß ich den dortigen Term , der die Zahlenfolge liefert, nur noch geschickt zu multiplizieren brauchte:



um die gewünschte Zahlenfolge zu bekommen. Du liegst allerdings mit deiner Ahnung hinsichtlich Vertauschungen gar nicht falsch, denn wenn du den Link verfolgst, siehst du, daß es genau darum ging.

Übrigens sollte man keine Hemmungen haben, eine Darstellung des Ergebnisses in rekursiver Form als voll gültig anzusehen:



Ich sehe die Darstellungen, wie sie Tom^4 oder ich geliefert haben, bestenfalls als Spielerei an.
AndyH. Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, also das was da gemacht wurde, kann ich nachvollziehen. Aber hier ist es ja ein etwas anderer Matrizentyp. Deswegen kann ich mir die Multiplkationen nicht so ganz erklären. verwirrt

Mit Probieren kommt natürlich schnell darauf.
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