Koordinatengleichung, Schneiden der KO-Achsen

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21.12.2007, 11:17	Drapeau	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatengleichung, Schneiden der KO-Achsen Hallihallo, Ich habe folgende Aufgabe zu lösen, komme aber wirklich überhaupt nicht weiter, da mir anscheinend das gewisse Wissen fehlt Gegeben sind folgendes: Die Ebene E: $\begin{eqnarray} E: 4x_1 + 6x_2 + 3x_3 - 24 = 0 \end{eqnarray}$ Die Gerade h: $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Punkt $\begin{eqnarray} P (1\|3\|2) \end{eqnarray}$ Des Weiteren enthält die Ebene F, h und P. _________________________________ Mein Anliegen besteht nun darin, eine Koordinatengleichung von F zu bestimmen, was ich zwar versucht hab, was aber nicht klappt. Dann kommt etwas was ich leider Gottes gar nicht verstehe, und zwar soll E die Koordinatenachsen in $\begin{eqnarray} S_1 , S_2 und S_3 \end{eqnarray}$ schneiden. F hingegen soll die Koordinatenachsen in $\begin{eqnarray} T_1 , T_2 und T_3 \end{eqnarray}$ schneiden. Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand helfen könnte, da ich dies wirklich verstehen muss und auch will. Bis dahin, mfG Drapeau
21.12.2007, 11:27	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wäre schön wenn du die genaue Aufgabenstellung hinschreiben könntest! Dann wissen wir nämlich auch was F und h sind!
21.12.2007, 11:54	Drapeau	Auf diesen Beitrag antworten »
Also was gegeben ist, steht oben, und die Aufgabenstellung heißt im Genauen wie folgt: Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von F. E schneidet die Koordinatenachsen in S1, S2, S3. F schneidet die Koordinatenachsen in in T1, T2, T3. Geben Sie die Koordinaten dieser sechs Punkte an und zeichnen Sie die beiden Dreiecke S1-S2-S3 und T1-T2-T3 in ein Koordinatensystem ein. Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E. Des Weiteren ist ein Teilergebnis gegeben: $\begin{eqnarray} F: 6x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 24 = 0 \end{eqnarray}$ Danke im Vorraus, hoffe ich konnte einigermaßen mein Anliegen schildern. mfG
21.12.2007, 11:59	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann fange doch mit den "einfachsten" an! $\begin{eqnarray} S_1,S_2,S_3 \end{eqnarray}$ Stichwort: Spurpunkte!
21.12.2007, 12:01	Jin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute mal du musst eine Ebene F aus h und P bestimmen, in eine Koordinatenform umwandeln und deren Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen, genau wie mit Ebene E: dazu nimmst du den Stütz von h, deren richtungsvektor und erstellst einen zweiten Richtungsvektor indem du den Stützvektor vom Ortsvektor von P abziehst. $\begin{eqnarray} F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + u \cdot\begin{pmatrix} 1-1 \\ 3-0 \\ 2-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + u\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ jetzt kannst du die Parametergleichung in die Koordinatenform bringen indem du in einem LGS t und u eliminierst. Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bekommst du folgendermaßen: Ich nehm an dir ist klar dass wenn eine Ebene einen Schnittpunkt mit einer solchen Achse hat die anderen 2 Koordinaten 0 sein müssen. Wenn also zum Beispiel ein Schnittpunkt mit der $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ -Achse vorliegt handelt es sich um den Punkt ( $\begin{eqnarray} x_1/0/0 \end{eqnarray}$ ). Du musst jetzt einfach die anderen Koordinaten =0 setzen, nach der gesuchten Koordinate auflösen und hast deinen Schnittpunkt mit der entsprechenden Achse.
21.12.2007, 13:52	Drapeau	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, zunächst vielen Dank für die Hilfe hab jetzts sogar verstanden. Nur hab ich dennoch ein kleines Problem. Ich hab folgendes LGS aufgestellt und wollte dann eben nach t und u auflösen: I $\begin{eqnarray} x_1 = 1 + t \end{eqnarray}$ II $\begin{eqnarray} x_2 = 3 u \end{eqnarray}$ III* $\begin{eqnarray} x_3 = 6 - 2t - 4u \end{eqnarray}$ Daraus hab ich dann folgendes umgeformt: I $\begin{eqnarray} x_1 - 1 = t \end{eqnarray}$ II $\begin{eqnarray} x_2 / 3 = u \end{eqnarray}$ Dies eingesetzt in III: $\begin{eqnarray} x_3 = 6 - 2 (x_1-1) - 4 * (x_2 / 3) \end{eqnarray*}$ So, aber nun weiß ich irgendwie wirklich weiter. Wie muss ich weiter machen? MfG
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21.12.2007, 14:21	manito	Auf diesen Beitrag antworten »
ausmultiplizieren? ich lös so etwas immer mit dem gauss verfahren. bring doch die u und t auf eine seite und elminiere sie bis in einer zeile folgender ausdruck steht: $\begin{eqnarray} ax_1 + bx_2 +cx_3 + d = 0 \end{eqnarray}$
21.12.2007, 14:22	Jin	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch mal die Klammern auszumultiplizieren (Achtung Minusklammer).
21.12.2007, 14:27	Drapeau	Auf diesen Beitrag antworten »
Also habs mal ausgeklammert und ein wenig umgeformt, kommt mir grad aber ein wenig komisch vor um ehrlich zu sein, weiß nicht was ich da eventuell falsch gemacht habe: $\begin{eqnarray} 2x_1 + 12x_2 - x_3 = -8 \end{eqnarray}$ MfG
21.12.2007, 14:30	Jin	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du ausmultiplizierst solltest du darauf kommen: $\begin{eqnarray} x_3=6-2x_1+2-\frac{4}{3}x_2 \end{eqnarray}$ und dann auf $\begin{eqnarray} 2x_1+\frac{4}{3}x_2+x_3=8 \end{eqnarray}$ das kannste dann mit 3 durchmultiplizieren um den bruch zu entfernen und kommst auf dein Zwischenergebnis
21.12.2007, 14:38	Drapeau	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, du hast recht. Entschuldige, hab mich ein wenig dumm angestellt. Habe anhand deiner obigen Hilfe mal die Schnittpunkte von E und F berechnet: Schnittpunkte der Ebene E: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Schnittpunkte der Ebene F: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Habe bei beiden einfach $\begin{eqnarray} x_2 = x_3 = 0 \end{eqnarray}$ gesetzt und dementsprechend nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ aufgelöst. Habe ich bis dato alles richtig gemacht/ verstanden? MfG

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