Parabeln und Kreis

21.12.2007, 14:09

Mathegreis

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Parabeln und Kreis

Hallo Experten,

hat vielleicht jemand eine Idee, wie man die Lösung folgender Aufgabe angeht:

Gegeben sind die Parabeln y = 2*x^2 und y = - 0.5*x^2.
Gesucht werden die Mittelpunktskoordinaten des Kreises, der die beiden rechten Parabelarme berührt.

Ist diese Aufgabe mit Hilfe der Schulmathematik lösbar?

Herzlichen Dank für Eure Bemühungen!

edit
Sorry: Radius des Kreises r = 5 LE

21.12.2007, 15:28

ushi

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RE: Parabeln und Kreis
hallo

ich häng mal eine skizze an. die geraden sind die normalen zu den funktionen.
vielleicht hilft dir das auf die sprünge.

21.12.2007, 17:20

Jin

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Ich hab mich auch mal dran versucht.

Zuerst hab ich die Ableitung der beiden Funktionen bestimmt und eine Funktionsschaar der Normalengleichungen in Abhängigkeit von x aufgestellt.

$\begin{eqnarray*} n_f(x)=-\frac{1}{4}x_f\cdot x+2x_f^2+\frac{1}{4}x_f \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_g(x)=x_g\cdot x-0.5x_g^2-x_g \end{eqnarray*}$

die beiden schneiden sich im gesuchten punkt, also kann man sie gleichsetzen

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}x_f\cdot x+2x_f^2+\frac{1}{4}x_f=x_g\cdot x-0.5x_g^2-x_g \end{eqnarray*}$

desweiteren kann man sagen dass die Differenzen der x- und y-koordinaten den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks entsprechen, deren Hypothenuse der Radius des Kreises ist. Desweiteren ergibt die x-Differenz multipliziert mit der Steigung der Normalen die y-Differenz. Also gilt laut Satz des Pythagoras:

$\begin{eqnarray*} (x-x_f)^2+(- \frac{1}{4}x_f(x-x_f))^2 = 25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-x_g)^2+(x_g(x-x_g))^2 = 25 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich bin auf dem richtigen Weg, aber ich hab das Gefühl, irgendwas stimmt bei meinen Überlegungen ned.

21.12.2007, 19:33

ushi

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Zitat:

Original von Jin
$\begin{eqnarray*} n_f(x)=-\frac{1}{4}x_f\cdot x+2x_f^2+\frac{1}{4}x_f \end{eqnarray*}$

müsste es nicht heißen:

$\begin{eqnarray*} n_f(x)=-\frac{1}{4x_f}\cdot x+2x_f^2+\frac{1}{4x_f} \end{eqnarray*}$

weil:

$\begin{eqnarray*} m_n=-\frac 1{m_t}~\text{mit}~m_t=4x_f \end{eqnarray*}$

21.12.2007, 19:58

Jin

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stimmt, sonst passts soweit oder?

21.12.2007, 20:01

Jin

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$\begin{eqnarray*} n_f(x)=-\frac{1}{4x_f}\cdot x+2x_f^2+\frac{1}{4}x_f \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_g(x)=x_g\cdot x-0.5x_g^2-x_g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4x_f}\cdot x+2x_f^2+\frac{1}{4}x_f=x_g\cdot x-0.5x_g^2-x_g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-x_f)^2+(- \frac{1}{4x_f}(x-x_f))^2 = 25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-x_g)^2+(x_g(x-x_g))^2 = 25 \end{eqnarray*}$

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21.12.2007, 21:12

riwe

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da wünsche ich weiterhin viel vergnügen.
das dürfte immer auf häßliche gleichungen (mindestens verwirrt

verwirrt

) 4. grades führen.

21.12.2007, 22:05

Mathegreis

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Ganz herzlichen Dank für den schönen Lösungsansatz, auf den ich nicht gekommen bin!

Das Problem wird sein, aus den beiden Gleichungen mit den beiden Unbekannten die Lösung zu ermitteln - und ich darf vermuten, dass es entgegen @riwe's Annahme nicht so viel Spaß machen dürfte.

Egal, ich werde es mal versuchen.

Dennoch eine Nachfrage bezüglich der Normalengleichungen:

M. E. müssten die absoluten Glieder der ersten Normalengl. 2*x^2 + 1/4
und der zweiten -0.5*x^2 - 1 lauten.

Oder liege ich da mit meiner Annahme falsche? Wäre für einen kurzen Hinweis dankbar.

Mit nochmaligem herzlichen Dank

und v. G.

21.12.2007, 23:08

Jin

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Ok, Ich hatte Unrecht, bin mit den verschiedenen Variablen durcheinander gekommen.

21.12.2007, 23:28

Airblader

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Zitat:

Original von Mathegreis
Das Problem wird sein, aus den beiden Gleichungen mit den beiden Unbekannten die Lösung zu ermitteln

Sofern erlaubt, würde ich das dann doch lieber den PC machen lassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

21.12.2007, 23:39

Mathegreis

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Zitat:

Original von Airblader

Das Problem wird sein, aus den beiden Gleichungen mit den beiden Unbekannten die Lösung zu ermitteln

Sofern erlaubt, würde ich das dann doch lieber den PC machen lassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hallo @Airblader,

eine hervorragende Idee!

Ist das vielleicht sogar hier mit dem Formeleditor oder mit irgendwelchen Tools möglich?
Ansonsten wäre ich für einen kurzen Hinweis dankbar, mit welchem Programm man sich die Rechenarbeit erleichtern kann.

Ich wundere mich ohnehin, wie @riwe die Koordinaten in der Zeichnung errechnet hat. Wahrscheinlich auch mit dem PC.

Danke für die Bemühungen und

f. G.

21.12.2007, 23:59

riwe

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nein die habe ich zu fuß berechnet, jeweils für eine parabel.
mit dem rest hat dann mathematica den bildschirm gefüllt und war noch nicht fertig
daher immer noch viel vergnügen.
mit $\begin{eqnarray*} P(p/2p²) \end{eqnarray*}$ auf parabel 1 und $\begin{eqnarray*} Q(u/-\frac{u²}{2}) \end{eqnarray*}$ auf parabel 2 kommt man leicht auf:

$\begin{eqnarray*} m_{rot}=\frac{20p}{\sqrt{1+16p²}}+p \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_{blau}=\frac{5u}{\sqrt{1+u²}}+u \end{eqnarray*}$

und entsprechende ausdrücke für $\begin{eqnarray*} n_{rot} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_{blau} \end{eqnarray*}$

und da für den mittelpunkt des gesuchten kreises gilt:
$\begin{eqnarray*} M_{rot}(m_{rot}/n_{rot})=M_{blau}(m_{blau}/n_{blau}) \end{eqnarray*}$
hat man 2 gleichungen für die 2 unbekannten p und u usw.,
also kann der rest nur mehr ein kinderspiel sein, zumindest im prinzip Big Laugh

Big Laugh

22.12.2007, 00:04

Jin

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Somit wäre die Frage eigentlich beantwortet, das Problem lässt sich nicht mit Schulmathematik lösen, oder?

22.12.2007, 00:36

riwe

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Zitat:

Original von Jin
Somit wäre die Frage eigentlich beantwortet, das Problem lässt sich nicht mit Schulmathematik lösen, oder?

kommt vemutlich auf die schule an unglücklich

unglücklich

im ernst: ich würde dir beipflichten

22.12.2007, 11:15

riwe

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dann reiche ich einmal das ergebnis nach,
soweit man excel und mir trauen kann unglücklich

unglücklich

22.12.2007, 17:29

Mathegreis

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Hallo @riwe,

ich werde mich jetzt zunächst aufmachen, die Gleichung ebenfalls "´zu Fuß" zu lösen. Vielen Dank für den Hinweis, dass das möglich ist!

Sofern Du nochmal Zeit hast, würde mich brennend interessieren, wie Du in Deinem ersten Bild die beiden Kurven (rote und blaue) hingekriegt hast.
Ich nenne sie mal "Riesenparabeln". Sie stellen ja die Bewegungen des Mittelpunktes zweier Kreise dar, der eine rollt auf der oberen, der andere auf der unteren Parabel ab. Der Schnittpunkt dieser "Riesenparabeln" ist ja der gesuchte Kreismittelpunkt.

Ich habe bisher verzweifelt nach einer Möglichkeit gesucht, diese "Riesenparabeln" zu zeichnen.

Wenn Du mal Zeit hast, würde ich mich über einen Hinweis freuen - eilt aber nicht!

Danke und f. G.

22.12.2007, 18:40

riwe

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mit der parabel $\begin{eqnarray*} y=ax² \end{eqnarray*}$ und einem punkt $\begin{eqnarray*} P(p/ap²) \end{eqnarray*}$ auf ihr, bekommt man für die koordinaten des mittelpunktes $\begin{eqnarray*} M(m/n) \end{eqnarray*}$ im abstand $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ die parameterform:

$\begin{eqnarray*} m=p+\frac{2arp}{\sqrt{1+(2ap)²}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=ap²-\frac{2\mid a\mid rp}{a\cdot\sqrt{1+(2ap)²}} \end{eqnarray*}$

mit der x- koordinate p des punktes P als parameter.

bis hierher und nicht weiter geht es (bei mir) zu fuß.

das für beide parabeln durchgeführt, ergibt prinzipiell die lösung deines problems,
führt aber (zumindest auf diesem weg) auf gleichungen, die ("sehr" vermutlich)nicht mehr geschlossen lösbar sind (mindestens 4. grades).

daher habe ich den rest in excel mit hilfe des solvers und einiger tricks erledigt.

wenn du nicht mühsam von hand eine wertetabelle T(p, x, y) erstellen willst geschockt

geschockt

,
dann brauchst du ein dynamisches geometrieprogramm, um die "riesenparabeln", die ja leider keine sind, zu zeichnen.

ich verwende - in meinem alter ist man ja nicht mehr sehr flexibel - seit ich mich hier im board herum treibe (meist) EUKLID, da gibt es aber noch einige andere, z.b cinderella, geonext...

22.12.2007, 20:38

Mathegreis

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@riwe

Herzlichen Dank für Deine schnelle Antwort!

Mittlerweile habe ich auch gemerkt, dass bei der weiteren Lösung des Problems ganz komplizierte Gleichungen entstehen, die wohl zeitsparender und komfortabler mit dem PC gelöst werden können.

Herzlichen Dank für die Information bezüglich des Geometrie-Programms!

Herzlichen Dank auch allen anderen, die sich hier um die Lösung des Problems bemüht haben!

Ich wünsche allen schöne Festtage!

Viele Grüße

22.12.2007, 21:53

Jin

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Auf das selbe Problem bin auch Ich gestoßen, Zuerstmal 2 quartische Gleichungen mit Parametern lösen und deren Lösungen alle in eine weitere einsetzen, womöglich in allen Kombinationen, wo dann im Idealfall 2 reelle Lösungen rauskommen sollten...

23.12.2007, 13:17

Unverstaendlich

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Gleichungen " m_rot und m_blau "
1.)Warum schreibst Du nicht auch die Funktionen von n_rot und n_blau dazu ?
2.)Betrachtet man nur m_rot und m_blau, so kann man mit diesen Gleichungen allein nichts anfangen, denn sie sind nur für p=0 und q=0 auch gleich =0
Aber daraus eine brauchbare Lösung zu finden sehe ich nicht

23.12.2007, 13:58

riwe

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RE: Gleichungen " m_rot und m_blau "
unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Unverstaendlich
1.)Warum schreibst Du nicht auch die Funktionen von n_rot und n_blau dazu ?
2.)Betrachtet man nur m_rot und m_blau, so kann man mit diesen Gleichungen allein nichts anfangen, denn sie sind nur für p=0 und q=0 auch gleich =0
Aber daraus eine brauchbare Lösung zu finden sehe ich nicht

da ich annehme, dass du mich meinst verwirrt

verwirrt

a) es ist nicht verboten, selber zu denken und zu rechnen.

b) es ist mir Unverstaendlich, warum du meckerst und nicht alle beiträge liest, die entsprechende gleichung für $\begin{eqnarray*} n_{blauundrotundgruenundveilchenfarben} \end{eqnarray*}$ habe ich in meinem gestrigen beitrag hingemalt.

c) die bemerkung unter 2) ist unsinn, denn ich suche ja gar nicht die lösung $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ , die ja auch keine ist für $\begin{eqnarray*} r=5 \end{eqnarray*}$ Big Laugh

Big Laugh

und auch wenn du es nicht siehst, man kann aus $\begin{eqnarray*} m_{blauundrot} \end{eqnarray*}$ natürlich eine lösung für $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ finden, indem man $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ entsprechend "variiert" unglücklich

unglücklich

wie hätte ich sie denn sonst in einem weteren beitrag, den du nicht gelesen hast, hinschreiben können, sozusagen als schnittpunkt der "mathegreisschen riesenparabeln".

ich gebe dir allerdings recht, eine "besser konvergierende" verwirrt

verwirrt

lösung findet man, wenn man die y-koordinate des mittelpunktes berücksichtigt.

wieso eigentlich das interesse an dieser komischen aufgabe verwirrt

verwirrt

na dann viel spaß beim selber besser machen unglücklich

unglücklich

23.12.2007, 13:58

Mathegreis

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Hallo @Unverständlich,

wen meinst Du mit Deiner Frage?

Die Gleichungen für die Normalen (n) sind doch oben angeführt worden.

Die von Dir angesprochenen m-Werte beziehen sich auf den gesuchten Kreismittelpunkt und sind mit Hilfe der p- oder u- Parabelabszissen zu berechnen.
Die p- bzw. u- Werte sind die x-Werte der Parabeln, in denen der Kreis sie berührt.
Setzt man für p= 0, erhält man für m natürlich auch 0, weil dann der Mittelpunkt des gesuchten Kreises, der die Parabel in 0 berührt, auf der x-Achse liegt.

Es könnte allerding sein, dass sich @riwe bei der Formel für die n-Angabe vertan hat, denn in dem berechneten Beispiel darf für den Wert natürlich nicht 0 als Ergebnis auftreten.

Ich bin sicher, dass das noch überprüft wird.

M. E. müsste der Ausdruck so aussehen:

$\begin{eqnarray*} n = ap^2 - r/\sqrt(4a^2 p^2 +1) \end{eqnarray*}$

Jetzt erhält man für p = 0 n = -5. Mit (0 / -5) sind diese Mittelpunktskoordinaten des Kreises stimmig.

23.12.2007, 14:28

riwe

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geschockt

ich habe mich nicht vertan - das kommt bei mir nie bis oft vor unglücklich

unglücklich

-

und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist auch bei MIR nicht die gleichung einer normalen, die schaut (hier) ganz anders aus.

ich wiederhole: der gesuchte mittelpunkt des kreises hat - mit den üblichen bezeichnern - die koordinaten $\begin{eqnarray*} M(m/n) \end{eqnarray*}$

daher ist (bei mir) $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die y-koordinate des gesuchten kreismittelpunktes Big Laugh

Big Laugh

bleibt nur noch die frage: warum sollte denn $\begin{eqnarray*} M(0/-5) \end{eqnarray*}$ RECHTS von den parabeln liegen,
das ist stimmig verwirrt

verwirrt

da bin ich schon fasziniert, jetzt wissen´s auf einmal alle besser traurig

traurig

man wird sich ja mal lustig machen dürfen, bei soviel prügeln traurig

traurig

frohe weihnachten Prost

Prost

Teufel

23.12.2007, 16:01

Mathegreis

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Hallo @riwe,

bitte nicht böse sein, habe überhaupt keine Kritik an Deinen Ausführungen geübt! Ich will auch gar nichts besser wissen, habe jedoch nachgerechnet und eine Unstimmigkeit gefunden.

Ich war der Meinung, @Unverstaendlich bezog sich bei seinem "n" auf die im dritten Beitrag genannten Normalen-Gleichungen von @Jin. So ist meine Stellungnahme an ihn zu verstehen.

Das hat man davon, wenn man etwas postet und nicht angibt, worauf man sich bezieht.

Im Übrigen wollte ich @Unverstaendlich folgendes erläutern:
Die von Dir angeführten Parameter m und n für den Kreismittelpunkt ergeben die Mittelpunktskoordinaten des berührenden Kreises, wenn man für p den Berührungspunkt des Kreises an die Parabel einsetzt.
Im Punkt p = 0 liegt der Kreis senkrecht unter der Parabel; m wird auch Null.
Für diesen Fall (Kreis liegt senkrecht unter dem Ursprung) müsste der n-Wert bei -5 liegen (r = 5). (Das hat nichts mit der gesuchten Lösung des Problems zu tun, sollte dem @Unverstaendlich nur verdeutlichen, was man mit m und n berechnen kann!)

Ich hoffe, ich habe das Missverständnis ausräumen können, bleibe immer noch dankbar für den aufgezeigten Lösungsweg, den ich überhaupt nicht anzweifele, mich weder lustig mache noch "Prügel" verteile, nachdem ich ganz freundlich angefragt habe und bestens bedient worden bin!

In diesem Sinne ebenfalls frohe Weihnachten!

23.12.2007, 16:39

riwe

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du darfst mich nicht immer ernst nehmen unglücklich

unglücklich

das ist halt meine art von (senilem) humor unglücklich

unglücklich

aber trotzdem, wenn der "kreis" für $\begin{eqnarray*} p=0 \end{eqnarray*}$ BEIDE parabeln berühren soll, dann gilt auch $\begin{eqnarray*} u = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$
und auch $\begin{eqnarray*} m= n = 0 \end{eqnarray*}$

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