Orthogonale Projektion

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Joe1 Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Projektion
Hi,

Aufgabe:

Betrachte die Vektoren v1 := (1,3,1,1), v2 := (2,0,0,-2),v3 := (0,1,-3,0) element R^4. Bestimmt die orthogonale Projektion des Vektors v := (1,1,1,1) auf den von v1,v2,v3 aufgespannten Unterraum.
???

a:= a1*v1+a2*v2+a3*v3

orthogonale Projektion = <a,v>*a ???
Joe1 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder:

ortho. Pro.=<v1,v>v1+<v2,v>v2+<v3,v>v3 ???
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde einfach durch einen weiteren Vektor , der auf den ersten drei Vektoren senkrecht steht, zu einer Basis des ergänzen und als Linearkombination bezüglich dieser Basis schreiben. Die Projektion von auf den von erzeugten Unterraum bekommst du dann, indem du den -Anteil in der Linearkombination wegläßt. Geometrisch gesprochen: Fälle von aus das Lot auf und bestimme den Lotfußpunkt.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Joe1
Oder:

ortho. Pro.=<v1,v>v1+<v2,v>v2+<v3,v>v3 ???


So gehts aber schneller, warum machste das nicht einfach?
3 Skalarprodukte ausrechnen und dann zusammenaddieren.
mfG 20
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 20_Cent
Zitat:
Original von Joe1
Oder:

ortho. Pro.=<v1,v>v1+<v2,v>v2+<v3,v>v3 ???


So gehts aber schneller, warum machste das nicht einfach?
3 Skalarprodukte ausrechnen und dann zusammenaddieren.
mfG 20


Das funktioniert aber nur, wenn eine Orthonormalbasis des von ihnen erzeugten Unterraumes bilden, was hier glücklicherweise fast der Fall ist.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Oje oje, hast natürlich Recht.
Dann noch Gram-Schmidt, dann isses auch nicht mehr viel kürzer Augenzwinkern
mfG 20
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 20_Cent
Oje oje, hast natürlich Recht.
Dann noch Gram-Schmidt, dann isses auch nicht mehr viel kürzer Augenzwinkern


Ich denke, darauf zielt der Aufgabengeber auch ab. Allerdings ist Leos Weg etwas spitzfindiger. Eine Ergänzung dazu: Ist Q die Ortho-Projektion auf (den bereits normierten Vektor) (also ), dann ist die gesuchte Ortho-Projektion gegeben durch P = I - Q, wobei I die Identitätsabbildung ist. Das entspricht dem von Leopold genannten "-Anteil in Linearkombination weglassen".
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