Trigonometrische-Gleichung

Neue Frage »

noob Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische-Gleichung
Hallo
Folgende Gleichung ist gegeben:
4cos(2X)=1+3sin(2x)

Gesucht x im Intervall [0,2PI]

nach Umformungen und Substitution durch t=sin(2x) ergibt sich:
15=25t^2+6t^2
Lösung für t = 0.6638... und t = -0.9038

Lösung für x nach Resubstitution:
x= 0.3629 und x=-0.5643

Allerdings gibt es insgesamt 8 Lösungen:
0.36,3.50,1.21,4.35,2.58,5.719,2.14,5.28

Auf welche Weise kriegt man alle 8 Lösungen?
noob Auf diesen Beitrag antworten »

ok - Problem hat sich erledigt.
Sucht man die Lösungen für 2x=sin^-1(t) im Einheitskreis ergeben sich exakt diese 8 Lösungen.
(Zuvor versuchte ich es für x=sin^-1(t)/2 was mir falsche Lösungen beschehrte)

Kann mir vielleicht jemand sagen, warum sich dies so verhält?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich zeig's dir mal für t1 = 0,6638:

Es gibt wegen der Periodizität der Winkelfunktionen unendlich viele Lösungen, also werden üblicherweise nur die Lösungen innerhalb der ersten 4 Quadranten angegeben!

sin(2x) = 0,6638

für arcsin(0,6638) erhält man zunächst den Hauptwert 0,7258.

2x = 0,7258 + k*2pi (sin-Fkt. hat Periode von 2pi (360°), k €Z)
x = 0,3629 + k*pi

Nun für k = 1 und 2 einsetzen (bei k = 3 bist du schon über den 4. Quadr. hinaus) -> x1, x2

Nun gibt es aber für
sin(2x) = 0,6638
ausser dem Hauptwert noch einen Nebenwert im 2. Quadranten! Diesen erhält man, wenn man den Hauptwert von pi subtrahiert (sh. Einkeitskreis).

Somit ist

2x = -0,7258 + pi + k*2pi (k€Z)
x = -0,3629 + pi/2 + k*pi

Wieder für k = 1 und 2 einsetzen (bei k = 3 wird wieder der 4. Quadr. überschritten) -> x3, x4

Analog verfährst du mit t2, wodurch nochmals 4 Lösungen zu ermitteln sind.

Gr
mYthos
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(Zuvor versuchte ich es für x=sin^-1(t)/2 was mir falsche Lösungen beschehrte)

Hallo, diese Schreibweise ist UNGLÜCKLICH, benutze für die Umkehrfkt
besser 'inv'

arcsin(x) = inv(sin(x))

sin^-1(x) wird üblicherweise anders gedeutet !!
...
noob Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank für die aufschlussreiche Antwort :]
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »