Trigonometrische-Gleichung |
24.02.2004, 21:29 | noob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Trigonometrische-Gleichung Folgende Gleichung ist gegeben: 4cos(2X)=1+3sin(2x) Gesucht x im Intervall [0,2PI] nach Umformungen und Substitution durch t=sin(2x) ergibt sich: 15=25t^2+6t^2 Lösung für t = 0.6638... und t = -0.9038 Lösung für x nach Resubstitution: x= 0.3629 und x=-0.5643 Allerdings gibt es insgesamt 8 Lösungen: 0.36,3.50,1.21,4.35,2.58,5.719,2.14,5.28 Auf welche Weise kriegt man alle 8 Lösungen? |
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24.02.2004, 22:24 | noob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok - Problem hat sich erledigt. Sucht man die Lösungen für 2x=sin^-1(t) im Einheitskreis ergeben sich exakt diese 8 Lösungen. (Zuvor versuchte ich es für x=sin^-1(t)/2 was mir falsche Lösungen beschehrte) Kann mir vielleicht jemand sagen, warum sich dies so verhält? |
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24.02.2004, 22:33 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, ich zeig's dir mal für t1 = 0,6638: Es gibt wegen der Periodizität der Winkelfunktionen unendlich viele Lösungen, also werden üblicherweise nur die Lösungen innerhalb der ersten 4 Quadranten angegeben! sin(2x) = 0,6638 für arcsin(0,6638) erhält man zunächst den Hauptwert 0,7258. 2x = 0,7258 + k*2pi (sin-Fkt. hat Periode von 2pi (360°), k €Z) x = 0,3629 + k*pi Nun für k = 1 und 2 einsetzen (bei k = 3 bist du schon über den 4. Quadr. hinaus) -> x1, x2 Nun gibt es aber für sin(2x) = 0,6638 ausser dem Hauptwert noch einen Nebenwert im 2. Quadranten! Diesen erhält man, wenn man den Hauptwert von pi subtrahiert (sh. Einkeitskreis). Somit ist 2x = -0,7258 + pi + k*2pi (k€Z) x = -0,3629 + pi/2 + k*pi Wieder für k = 1 und 2 einsetzen (bei k = 3 wird wieder der 4. Quadr. überschritten) -> x3, x4 Analog verfährst du mit t2, wodurch nochmals 4 Lösungen zu ermitteln sind. Gr mYthos |
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24.02.2004, 22:57 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, diese Schreibweise ist UNGLÜCKLICH, benutze für die Umkehrfkt besser 'inv' arcsin(x) = inv(sin(x)) sin^-1(x) wird üblicherweise anders gedeutet !! ... |
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24.02.2004, 23:02 | noob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
vielen Dank für die aufschlussreiche Antwort :] |
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