Polynomalgebra

23.12.2007, 23:06	Chris2005	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomalgebra Hallo, ich soll den GGT von 2 univariaten Polynomen bestimmen, durch 2 Methoden, der Polynomrestsequenz und "by passing the quotient field" (sorry, meine angabe ist in englisch, weiß nicht, wie mans sinnvoll übersetzt). Weiß jemand was bei der 2ten Methode gemeint ist? Was genau ist der Quotientenkörper von Polynomen ? Ich kann mir nicht vorstellen, dass GGT Berechnung von Polynomen etwas mit rationalen Funktionen zu tun haben soll.... mfg Chris
24.12.2007, 00:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht ist mit der einen Methode die fortgesetzte Division bis zum letzten von Null verschiedenen Rest (euklid'scher Algorithmus heisst das, glaube ich) gemeint, das könnte man sicherlich auch mit ganzrationalen Polynomen machen ... mY+
24.12.2007, 12:54	Chris2005	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, hab mir schon gedacht, dass das auf sowas rausläuft. nur wo ist der unterschied zur polynomrestsequenz (ist ja genau das gleiche, ich schau mir die reste bei der division an, bis selbiger 0 wird, und letzter ist dann der ggt)? mfg Chris
24.12.2007, 15:07	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
da ist kein unterschied, das heisst einfach alles euklidischer algorithmus resp. weil der euklidische algorithmus natrlich zunächst nur mal für $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ erklärt ist, gibt es folgende verallgemeinerung: ein integritätsbereich $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ heisst euklidischer ring genau dann, wenn es eine funktion $\begin{eqnarray} N:\, R\backslash\{0\}\to\mathbb N\backslash\{0\} \end{eqnarray}$ gibt mit der eigenschaft, dass für alle $\begin{eqnarray} a,b\in R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a\neq 0 \end{eqnarray}$ existieren $\begin{eqnarray} r,s\in R \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} a=s\cdot b +r \end{eqnarray}$ mit entweder $\begin{eqnarray} N(r)\leq N(b) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} r=0 \end{eqnarray}$ . für $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist dann eben $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ der betrag und für polynomringe ist $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ der grad des polynoms in einem euklidischen ring funktioniert dann auch der euklidische algorithmus

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